Sinav Süresi: 60 Dak

Üniversite
1

Soru:
Sinav Süresi: 60 Dak.
SORU I:
Luzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu À dir. Çubuk ekseni üzerinde,
çubugun bir ucundan a uzaklığunda bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz?
a

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

L uzunluklu çubuğun bir ucundan a uzaklığında P noktasındaki elektrik alanı bulunuz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Elektrik alanı, yük dağılımından dolayı süperpozisyon prensibi ile küçük yük elemanlarının alanlarının toplanmasıyla bulunur.
Bir eleman yük dq = \lambda dx için oluşturduğu elektrik alan:

dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2}

burada r, P noktasına olan uzaklıktır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sorunun kurulumu
Çubuk uzunluğu L, yük yoğunluğu \lambda (birim uzunluktaki yük), P noktası çubuğun bir ucundan a uzaklıkta.

Adım 2 — Diferansiyel yük elemanının elektrik alanı
Çubuk üzerinde x uzunluğundaki konumda küçük bir eleman dx alalım.
Bu elemana ait yük:

dq = \lambda dx

P noktasından bu elemanın uzaklığı:

r = a + x

Bu elemanın elektrik alan büyüklüğü:

dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{(a + x)^2}

Adım 3 — Elektrik alanın yönü ve toplamı
Tüm yükelemanlarından gelen elektrik alanlar aynı doğrultuda (çubuk ekseni boyunca) ve doğrultuları P noktasına doğru çekim veya itme yönüne göre belirlenir. Yönü pozitif kabul edelim.

Toplam elektrik alan:

E = \int_0^L dE = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^L \frac{dx}{(a + x)^2}

Adım 4 — İntegral işlemi

\int_0^L \frac{dx}{(a + x)^2} = \left[-\frac{1}{a + x}\right]_0^L = \left(-\frac{1}{a + L}\right) - \left(-\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + L}

Adım 5 — Sonuç

E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a + L}\right)

:white_check_mark: CEVAP:

E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a + L}\right)

şeklindedir. Elektrik alan çubuk ekseni boyunca, P noktasına doğrudur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

L uzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu λ dir. Çubuk ekseni üzerinde, çubuğun bir ucundan a uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Coulomb kanunu: d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}\,\hat{r}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinat seçimi ve diferansiyel yük
Çubuğun uç noktasını x=0 kabul edelim; çubuk x=0 ile x=L arasında uzanıyor. P noktası çubuğun x=0 ucunun uzağında ve P ile uç arası mesafe a.

Tanım:

dq=\lambda\,dx

Adım 2 — Diferansiyel alan ifadesi
P noktasından bir x konumundaki diferansiyel eleman uzaklığı:

r=a+x
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(a+x)^2}
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{(a+x)^2}

Adım 3 — İntegrasyon
Toplam alan:

E=\int_{0}^{L} dE
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\int_{0}^{L}\frac{dx}{(a+x)^2}

İntegrali hesaplayalım:

\int \frac{dx}{(a+x)^2}=-\frac{1}{a+x}+C

Sınırları uygulayalım:

E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\left(-\frac{1}{a+L}+\frac{1}{a}\right)
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)

Adım 4 — (İsteğe bağlı) Q ile ifade
\lambda=\dfrac{Q}{L} olduğundan:

E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{L}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)

CEVAP:
\displaystyle E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)

Bu nedenle \mathbf{E} yönü: Pozitif yük için P noktasına doğru çubuktan uzağa (çubuktan dışarı doğru) yöneliktir.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Lineer yük yoğunluğu (λ)
  • Tanım: Birim uzunluk başına düşen yük.
  • Bu problemde: dq=\lambda\,dx ile diferansiyel yük elemanı tanımlandı.
  1. Süperpozisyon ve integrasyon
  • Tanım: Sürekli yük dağılımlarında toplam alan küçük parçaların alanlarının integraliyle bulunur.
  • Bu problemde: Çubuk boyunca dE entegrallenerek E elde edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Uzaklık hatası

  • Yanlış: Elemanlar ile P arasındaki uzaklığı x veya L-x olarak almak.
  • Doğru: Eleman konumu x ise uzaklık a+x’dir.
  • Neden yanlış: Yanlış ifade edilen r, integrandın yanlış olmasına yol açar.
  • Düzeltme: Koordinat seçimini net yapın ve her elemanın P’ye olan uzaklığını doğru yazın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?