sin50 + tan20 ⋅ cos50 işleminin sonucu nedir?
Temel Çıkarımlar
- sin50 = cos40 eşitliği, açı tamamlamasıyla dönüşüm sağlar.
- tan20 = sin20 / cos20 bağıntısı, çarpma terimini payda paylaştırmayı mümkün kılar.
- cosX cosY + sinX sinY = cos(X–Y) özdeşliği, birleşik ifadeyi tek bir kosinüs cinsine indirger.
sin50 + tan20 ⋅ cos50 işlemi, trigonometrik özdeşlikler kullanıldığında 1 sonucunu verir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
-
sin50 ifadesini açı tamamlamasıyla yeniden yazın:
$$\sin50 = \cos40$$ -
tan20⋅cos50 terimini şu şekilde dönüştürün:
$$\tan20 \cdot \cos50 = \frac{\sin20}{\cos20} \cdot \sin40$$
çünkü $$\cos50 = \sin40.$$ -
Toplayarak ortak paydada toplayın:
\sin50 + \tan20\cdot\cos50 = \cos40 + \frac{\sin20\sin40}{\cos20} = \frac{\cos20\cos40 + \sin20\sin40}{\cos20} -
Birleşik kosinüs özdeşliğini kullanın:
$$\cos20\cos40 + \sin20\sin40 = \cos(20-40) = \cos(-20) = \cos20$$ -
Sonuç:
\frac{\cos20}{\cos20} = 1
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Açı tamamlaması | \sin50 = \cos40 | — |
| Tanjantın payda genişletilmesi | \tan20\cos50 = \dfrac{\sin20\sin40}{\cos20} | — |
| Ortak payda | \cos40 + \dfrac{\sin20\sin40}{\cos20} = \dfrac{\cos20\cos40+\sin20\sin40}{\cos20} | — |
| Birleşik kosinüs | \cos20\cos40+\sin20\sin40 = \cos(20-40)=\cos20 | — |
| Sonuç | \dfrac{\cos20}{\cos20} = 1 | 1 |
SSS
-
sin50 neden cos40’a eşittir?
Bir açının sinüsü, tamamlayanı olan açının kosinüsüne eşittir: \sin(90°–x)=\cos x. -
Tan ve sin/cos bağıntısı arasındaki ilişki nedir?
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} olduğu için çarpma-terimlerinde payda genellemesi yapabilirsiniz. -
Birleşik kosinüs özdeşliği nasıl kullanılır?
\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A–B) formülünü doğrudan uygulayarak iki terimi tek kosinüs olarak birleştirirsiniz. -
cos(–20) neden cos20’ye eşittir?
Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyondur: \cos(-x) = \cos x.
Başka trigonometrik ifadeleri bu yöntemle çözmek ister misiniz?
@Abdurrahman2134
Trigo.6 Soru Çözümü
Önemli Noktalar
- sin50 + tan20·cos50 ifadesini trigonometrik dönüşümlerle sadeleştirebiliriz
- tan20 = sin20/cos20 olarak yazılabilir
- Trigonometrik toplam ve çarpımlar için temel dönüşümler kullanılacak
- Doğru sonuç seçenekler arasında tan20 olarak bulunur
Verilen işlem:
$$\sin 50^\circ + \tan 20^\circ \cdot \cos 50^\circ$$
Öncelikle tan20’yi sine ve cosine açalım:
$$\tan 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}$$
İşlem şu hale gelir:
$$\sin 50^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \cdot \cos 50^\circ = \sin 50^\circ + \sin 20^\circ \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\cos 20^\circ}$$
Şimdi trigonometrik açı özelliklerinden yararlanarak ifadeyi sadeleştirelim.
Not: 50° + 20° = 70° ve 70° trigonometrik ilişkilerde sıkça kullanılır.
Şunu deneyelim:
[
\tan 20^\circ \cdot \cos 50^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \cdot \cos 50^\circ = \frac{\sin 20^\circ \cos 50^\circ}{\cos 20^\circ}
]
İfadenin tamamı:
[
\sin 50^\circ + \frac{\sin 20^\circ \cos 50^\circ}{\cos 20^\circ}
]
İşte burada trigonometrik formüllerden biri:
[
\frac{\sin A \cos B + \sin B \cos A}{\cos C} \quad \text{görünümü} \quad \Rightarrow
]
Ama burada biraz farklıdır. Daha kolay yaklaşmak için sayısal değerlerle kontrol edelim.
Yaklaşık değerler:
- (\sin 50^\circ \approx 0.766)
- (\tan 20^\circ \approx 0.364)
- (\cos 50^\circ \approx 0.643)
Hesaplayalım:
[
\sin 50^\circ + \tan 20^\circ \times \cos 50^\circ \approx 0.766 + 0.364 \times 0.643 \approx 0.766 + 0.234 = 1.0
]
Bu, yaklaşık 1 eder.
Seçeneklerde 1 A şıkkı var.
Ancak seçeneklere dikkat edersek:
- A) 1
- B) tan20
- C) cot20
- D) sec20
- E) 2
Sonuç yaklaşık 1 olduğundan doğru cevap A şıkkı: 1’dir.
İçindekiler
Soru Çözümü
İşlem:
[
\sin 50^\circ + \tan 20^\circ \times \cos 50^\circ
]
Yaklaşık hesaplamayla 1 çıktığını gördük, şimdi bu sonucu trigonometrik olarak kanıtlayalım:
[
\tan 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}
\quad \Rightarrow \quad
\sin 50^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \cdot \cos 50^\circ = \sin 50^\circ + \frac{\sin 20^\circ \cos 50^\circ}{\cos 20^\circ}
]
Ama (\sin 50^\circ = \sin (70^\circ - 20^\circ)). Trigonometrik açı farkı formülünden:
[
\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
]
Uygularsak:
[
\sin 50^\circ = \sin 70^\circ \cos 20^\circ - \cos 70^\circ \sin 20^\circ
]
Burada, (\sin 70^\circ) ve (\cos 70^\circ) sabit; sonuca bakalım:
İşlem ifadesini ortak paydada yazalım:
[
\sin 50^\circ + \frac{\sin 20^\circ \cos 50^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{\sin 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 20^\circ \cos 50^\circ}{\cos 20^\circ}
]
Pay kısmı şöyle:
[
\sin 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 20^\circ \cos 50^\circ = \sin(50^\circ + 20^\circ) = \sin 70^\circ
]
Sonuç olarak:
[
\frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ}
]
Ama (\cos 20^\circ = \cos 20^\circ), yani payda ile sadeleşme mümkün değil.
Ancak pratik hesaba göre yaklaşık sonuç 1 olduğu için aşağıdaki alternatif bakabiliriz:
Alternatif:
[
\frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} = \tan 70^\circ
]
Çünkü (\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}).
Ama (\tan 70^\circ \approx 2.75), bu seçenekler arasında yok.
Sonuç yaklaşımı ve nispeten ufak açı farkı ile (1) en mantıklı cevaptır.
Pro Tip: Trigonometrik ifadeleri sadeleştirirken, açı toplamı veya farkı formüllerini payda ve payda ortaklaştırarak kullanmak başarıyı artırır.
Temel Trigonometrik Kavramlar
- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan A = (\frac{\sin A}{\cos A})
- Toplam/sayı oranları bazen payda eşitleme ile sadeleşir
Pratikte, özellikle sınavlarda ifadeleri tam açmak ve ortak ifadeler bulmak en hızlı yoldur.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | (\tan 20 = \frac{\sin 20}{\cos 20}) | Tanım |
| 2 | İfade (\sin 50 + \tan 20 \cdot \cos 50) şekline yazıldı | Dönüşüm |
| 3 | Payda eşitleme ve trigonometrik toplam kullanıldı | (\frac{sin 50 \cos 20 + sin 20 \cos 50}{\cos 20}) |
| 4 | Pay kısmı (\sin(50+20) = \sin 70^\circ) | Formül kullanımı |
| 5 | Yaklaşık değer 1 olarak hesaplandı | Son cevap A şıkkı |
Sık Sorulan Sorular
1. Bu işlem neden 1 sonucunu verir?
Çünkü pay kısmı açı toplamı formülüne uyar ve paydanın değerine göre yaklaşık 1 çıkıyor. Yaklaşık trigonometrik değerlerle sonuca ulaşmak sınavlarda pratik.
2. Sinüs ve tanjant arasındaki bağı nasıl anlarım?
Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır. Bu temel oranlar üzerinden dönüşümler yapılır.
3. Bu tip soruları daha hızlı çözmek için ne yapmalıyım?
Açı toplamı farkı formüllerini kolay ezberlemek ve trigonometrik oran ilişkilerine hakim olmak hız kazandırır.
Sonraki Adımlar
İsterseniz başka trigonometrik kimliklerin nasıl kanıtlandığını ve sınavlarda pratik kullanımını anlatabilirim. Ya da farklı soru tipleri ve çözüm stratejileri üzerinde ilerleyebiliriz.
Nasıl istersiniz?
@Abdurrahman2134