Sin x · sin y = 2/3 ve tan x · tan y = 2 ise cos(x+y) kaça eşittir?

YKS TYT
1

image
image666×342 20.5 KB

2

Trigo7-cosxplusy-calculation

Önemli Noktalar

  • Verilen: (\sin x \cdot \sin y = \frac{2}{3}) ve (\tan x \cdot \tan y = 2)
  • Amaç: (\cos(x + y)) değerini bulmak
  • Trigonometrik kimlikler ve dönüşümler kullanılacak

[
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
]

Burada (\sin x \sin y) zaten verilmiş, diğer ifadeyi (\cos x \cos y) cinsinden bulmamız gerekiyor.

İçindekiler

  1. Verilenleri Analiz Etme
  2. (\cos x \cos y) İfadesini Bulma
  3. (\cos(x+y)) Hesaplama
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilenleri Analiz Etme

Verilen denklemler:
[
\sin x \sin y = \frac{2}{3}
]
[
\tan x \tan y = 2
]

Buradan (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}) ve (\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}) olduğu için:

[
\tan x \tan y = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 2
]

Bu denklemi düzenlersek:

[
\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 2 \Rightarrow \cos x \cos y = \frac{\sin x \sin y}{2}
]

Verilen (\sin x \sin y = \frac{2}{3}) ise yerine koyarsak:

[
\cos x \cos y = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
]

:light_bulb: Pro Tip: Bu tür sorularda verilen çarpımlar arasındaki bağıntıları trigonometrik oranların tanımlarıyla ilişkilendirerek çözmek işleri kolaylaştırır.

2. (\cos x \cos y) İfadesini Bulma

Yukarıda hesaplanan:
[
\cos x \cos y = \frac{1}{3}
]

Bu değer pozitif olarak alınmalıdır çünkü (\tan x \tan y=2) pozitif ve (\sin x \sin y= \frac{2}{3}) pozitif, dolayısıyla (\cos x \cos y) pozitif kabul edilebilir (bu tip sorularda genelde böyle varsayılır).

3. (\cos(x + y)) Hesaplama

Formül:
[
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
]

Yerine koyarsak:

[
\cos(x + y) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
]

Yani, doğru cevap A şıkkıdır: (-\frac{1}{3}).

Özet Tablo

Eleman Değer
(\sin x \sin y) (\frac{2}{3})
(\tan x \tan y) 2
(\cos x \cos y) (\frac{1}{3})
(\cos(x + y)) (-\frac{1}{3})

Sık Sorulan Sorular

1. (\tan) ve (\sin) değerleri verildiğinde (\cos) nasıl bulunur?
Trigonometri temel oranları olan (\tan = \frac{\sin}{\cos}) bağıntısını kullanarak veriler arasındaki ilişkiyle (\cos) ifadesi hesaplanabilir.

2. (\cos(x+y)) formülü nedir?
[
\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
]

3. Bu problemde hangi trigonometrik özellikler kullanıldı?
Çarpımların oranları düzenlenerek ilgili trigonometrik fonksiyonların çarpımları birbirine bağlandı ve temel toplam formülünden yararlanıldı.

Sonraki Adımlar

Başka trigonometrik toplam ve fark formülleri içeren sorular çözmek ister misiniz yoksa bu tip problemlerde ters trigonometrik fonksiyonların entegrasyonunu da öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

sin x · sin y = 2/3 ve tan x · tan y = 2 ise cos(x+y) kaça eşittir?

Önemli Noktalar

  • sin x · sin y = 2/3
  • tan x · tan y = 2
  • Toplam açı formülü: cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b

cos(x+y) = −1/3

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. tan x tan y = 2 eşitliğinden
    \tan x \,\tan y = \frac{\sin x\,\sin y}{\cos x\,\cos y} = 2 \quad\Rightarrow\quad \cos x\,\cos y = \frac{\sin x\,\sin y}{2} = \frac{\tfrac23}{2} = \tfrac13
  2. cos(x+y) formülünü uygulayalım:
    \cos(x+y) = \cos x\,\cos y - \sin x\,\sin y = \tfrac13 - \tfrac23 = -\tfrac13

Özet Tablo

Bilgi Değer
sin x · sin y 2/3
tan x · tan y 2
cos x · cos y 1/3
cos(x+y) −1/3

SSS

  1. cos(x+y) formülü nedir?
    cos(x+y) = cos x·cos y − sin x·sin y.
  2. tan x · tan y ilişkisi nasıl kullanıldı?
    tan x tan y = (sin x sin y)/(cos x cos y) ⇒ cos x cos y = (sin x sin y)/2.
  3. sin ve cos çarpımlarını bulmak neden önemli?
    Toplam açı formülünde iki terimi doğrudan bu çarpımlarla ifade ederiz.
  4. Başka trigonometrik toplam/diferans formüllerini örnek çözümlerle görmek ister misiniz?

Başka trigonometrik toplam/diferans formülleri hakkında örnek çözümler ister misiniz?
@Abdurrahman2134