Sin x + sin y = 1/3 ve cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır?

YKS TYT
1

image
image461×245 15.5 KB

2

Trigonometri Sorusu Çözümü: cos(x - y) Değeri

Önemli Noktalar

  • Verilenler: (\sin x + \sin y = \frac{1}{3}) ve (\cos x + \cos y = \frac{2}{3})
  • Hedef: (\cos(x - y)) ifadesini bulmak
  • Trigonometrik toplam formülleri kullanılır:
    • (\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2})
    • (\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2})

Verilen ifadeleri trigonometrik formüller yardımıyla yazalım:
[
\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{3}
]
[
\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{2}{3}
]

Burada iki bilinmeyen var:

  • (A = \frac{x + y}{2})
  • (B = \frac{x - y}{2})

Denklemleri yeniden yazalım:
[
2 \sin A \cos B = \frac{1}{3} \implies \sin A \cos B = \frac{1}{6}
]
[
2 \cos A \cos B = \frac{2}{3} \implies \cos A \cos B = \frac{1}{3}
]

Şimdi, (\cos B) ortak olduğu için, bölme yapalım:
[
\frac{\sin A \cos B}{\cos A \cos B} = \frac{1/6}{1/3} \implies \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1}{2}
]
[
\tan A = \frac{1}{2}
]

Buradan (\sin A) ve (\cos A) değerlerini yazalım:
[
\tan A = \frac{1}{2} = \frac{\sin A}{\cos A} \Rightarrow \text{Örnek: } \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}}, \cos A = \frac{2}{\sqrt{5}}
]

Şimdi (\cos B) değerini bulalım (ikinci denkleme dönersek):
[
\cos A \cos B = \frac{1}{3} \implies \cos B = \frac{1}{3} \div \cos A = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6}
]

Ama (\cos^2 B \leq 1), kontrol edelim: (\left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2 = \frac{5}{36} < 1), uygun.

Ama (\cos B) değerini tam olarak kullanmak için (\cos(x - y)) ifadesini yazalım:

[
\cos(x - y) = \cos 2B = 2 \cos^2 B - 1 = 2 \left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{5}{36} - 1 = \frac{10}{36} - 1 = \frac{10-36}{36} = -\frac{26}{36} = -\frac{13}{18}
]

Sonuç:

[
\boxed{-\frac{13}{18}}
]

İçindekiler

  1. Denklemlerin Trigonometrik Formüllerle İfade Edilmesi
  2. Bilinmeyenlerin Çözülmesi
  3. cos(x - y) Hesaplaması
  4. Sonuç ve Doğrulama
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemlerin Trigonometrik Formüllerle İfade Edilmesi

Toplam sinüs ve kosinüs formüllerini kullanarak verilen ifadeler şu şekilde yazılır:

  • (\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2})
  • (\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2})

Bu ifadeler bilinmeyenleri belli şekle getirmek için temel adımdır.

:light_bulb: Pro Tip: Bu tür problemlerde toplama formülleriyle açmak çözümü kolaylaştırır.

2. Bilinmeyenlerin Çözülmesi

İki denklemi birbirine böldüğümüzde (\tan \frac{x+y}{2}) ifadesini elde ederiz. Bu, problemlerin çözümünde çok kullanılan tekniklerden biridir.

[
\tan A = \frac{1}{2}
]

Bu açıya ait (\sin A) ve (\cos A) değerleri oranlarla bulunur.

3. (\cos(x - y)) Hesaplaması

[
\cos(x - y) = \cos 2B = 2 \cos^2 B - 1
]

Burada (\cos B) yukarıda bulunan değerdir. Sayısal değer hesaplanarak sonuç elde edilir.

4. Sonuç ve Doğrulama

Bulunan sonuç, seçenekler arasında A şıkkı olan (-\frac{13}{18}) değerine karşılık gelmektedir.

Sık Sorulan Sorular

1. Sinüs ve kosinüs toplam formülleri neden kullanılmalı?
Toplama ifadelerini tek trigonometric fonksiyonun çarpanları haline getirmek işlem kolaylığı sağlar.

2. (\cos(x-y)) nasıl 2 kat açı formülüne dönüştürülüyor?
Paydalar denklemde (\frac{x-y}{2}) olduğundan, son adımda açıyı 2 ile çarparak toplam açıyı elde ederiz.

3. Neden (\tan A) hesaplandı?
Denklemler iki bilinmeyen içerdiğinden biri diğerine oranlanarak tek bilinmeyenli hale getirilir.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik kimliklerle ilgili daha karmaşık problemlere geçmek ister misiniz? Yoksa temel trigonometrik formüllerin uygulamalarını örneklerle daha detaylı inceleyelim mi?

@Abdurrahman2134

3

sin x + sin y = 1/3 ve cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır?

Temel Noktalar

  • Sum-to-product kimlikleriyle
    \,\sin x + \sin y = 2\,\sin\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)\, ve
    \,\cos x + \cos y = 2\,\cos\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)\, ifadeleri elde edilir.
  • \,\tan\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr) = \frac{1/3}{2/3} = \tfrac12\, sonucu bulunur.
  • cos (x − y) = cos 2b = 2 cos²b − 1 formülü ile −13/18 sonucuna ulaşılır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Kıyas Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. $$\sin x + \sin y = 2\sin!\Bigl(\tfrac{x+y}{2}\Bigr)\cos!\Bigl(\tfrac{x-y}{2}\Bigr)=\tfrac13$$
    $$\cos x + \cos y = 2\cos!\Bigl(\tfrac{x+y}{2}\Bigr)\cos!\Bigl(\tfrac{x-y}{2}\Bigr)=\tfrac23$$

  2. Bölme işlemiyle
    $$\tan!\Bigl(\tfrac{x+y}{2}\Bigr)
    = \frac{\tfrac13}{\tfrac23}
    = \tfrac12
    \quad\Longrightarrow\quad
    \cos!\Bigl(\tfrac{x+y}{2}\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2!a}}
    =\frac{2}{\sqrt5},\
    \sin!\Bigl(\tfrac{x+y}{2}\Bigr)=\frac1{\sqrt5}.$$

  3. İkinci eşitlikten
    $$\cos!\Bigl(\tfrac{x-y}{2}\Bigr)
    = \frac{\tfrac23}{2\cos\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)}
    = \frac{\tfrac23}{2\cdot\frac{2}{\sqrt5}}
    = \frac{\sqrt5}{6}.$$

  4. Son adımda
    $$\cos(x-y)=\cos(2b)=2\cos^2b-1
    =2\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{6}\Bigr)^2-1
    =\frac{10}{36}-1
    =-\frac{26}{36}
    =-\frac{13}{18}.

    **Cevap A) −13/18** <a name="yks-tyt-comparison-table"></a> ## Kıyas Tablosu | Kimlik Türü | Formül | Kullanım Durumu | |------------------------|-----------------------------------------------|---------------------------------------------------------------| | Toplam Sinüs | $\,\sin x+\sin y=2\sin\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)\,$ | İki açının sinüs toplamını dönüştürmek için | | Toplam Kosinüs | $\,\cos x+\cos y=2\cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)\,$ | İki açının kosinüs toplamını dönüştürmek için | | Fark Kosinüs (2b) | $\,\cos(x-y)=\cos2b=2\cos^2b-1\,$ | Ara adımda bulunan $b=\tfrac{x-y}{2}$ değeriyle farkı hesaplamak için | <a name="yks-tyt-summary-table"></a> ## Özet Tablosu | Adım | İfade / Değer | |-----------------------|--------------------------------------| | $a=\tfrac{x+y}{2}$ | $\tan a=\tfrac12,\ \cos a=\tfrac{2}{\sqrt5},\ \sin a=\tfrac{1}{\sqrt5}$ | | $b=\tfrac{x-y}{2}$ | $\cos b=\tfrac{\sqrt5}{6}$ | | Sonuç | $\cos(x-y)=2\cos^2b-1=-\tfrac{13}{18}$ | <a name="yks-tyt-faq"></a> ## SSS 1. Toplam sinüs ve toplam kosinüs kimliklerinin farkı nedir? 2. cos(x − y) ifadesini bulurken neden $b=\tfrac{x-y}{2}$ tanımladık? 3. Tanjant değeri verildiğinde açıların yarısını bulma adımı neden kritik? 4. Başka hangi trigonometrik dönüşümler benzer problemlerde işinize yarar? Bu yöntemle **sin(x − y)** değerini de bulmamı ister misiniz? @Abdurrahman2134