Sin x + sin y = 1/3, cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır?

YKS TYT
1

image
image482×282 14.8 KB

2

Trigo.114 Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilenler:
    • sin x + sin y = 1/3
    • cos x + cos y = 2/3
  • Amaç: cos(x - y) değerini bulmak.
  • Trigonometrikte toplam ve fark formülleri kullanılır.
  • İşlem adımlarında mutlaka toplam-cos toplam-sin fark formülleri kullanılmalı.

İçindekiler

  1. Sorunun Analizi ve Temel Formüller
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Sorunun Analizi ve Temel Formüller

Verilen iki trigonometrik ifade:

  • (\sin x + \sin y = \frac{1}{3})
  • (\cos x + \cos y = \frac{2}{3})

Toplam sinüs ve kosinüs formülleri:
[
\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
]
[
\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
]

Amaç;
[
\cos(x - y) = ?
]

Bunu bulmak için (x-y) ifadesini, yukardaki formüller aracılığıyla dönüştürüp sonuca ulaşacağız.

:light_bulb: Pro Tip: Toplam-kosinüs değerlerini ortak çarpan şeklinde ifade edip (\cos(\frac{x-y}{2}))'yi bulmak çözümde kilit rol oynar.

Adım Adım Çözüm

  1. Toplam sinüs formülüne göre;
    [
    \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{3}
    ]

  2. Toplam kosinüs formülüne göre;
    [
    \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2}{3}
    ]

  3. İki ifadeyi bölelim:
    [
    \frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
    ]

Ama sağ tarafta:
[
\frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{\sin \frac{x+y}{2}}{\cos \frac{x+y}{2}} = \tan \frac{x+y}{2}
]

Böylece;
[
\tan \frac{x+y}{2} = \frac{1}{2}
]

  1. Şimdi, yukardaki ifadeyi kullanarak (\cos \frac{x-y}{2})'yi bulalım.
    [
    2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \frac{x-y}{2} = \frac{2/3}{2 \cos \frac{x+y}{2}} = \frac{1/3}{\cos \frac{x+y}{2}}
    ]

(\cos \frac{x+y}{2}) ifadesini (\tan \frac{x+y}{2} = 1/2) ile bulabiliriz:

[
\tan \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+ \tan^2 \theta}} \cdot \tan \theta, \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+ \tan^2 \theta}}
]

Yani,
[
\cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 + (1/2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/4}} = \frac{1}{\sqrt{5/4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
]

  1. (\cos \frac{x-y}{2})'yi bulalım:
    [
    \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1/3}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6}
    ]

  2. Şimdi, (\cos (x - y)) formülünü kullanalım:
    [
    \cos (x-y) = 2 \cos^2 \frac{x-y}{2} - 1 = 2 \left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{5}{36} - 1 = \frac{10}{36} - 1 = \frac{10 - 36}{36} = -\frac{26}{36} = -\frac{13}{18}
    ]

Özet Tablo

İşlem Adımı Sonuç / Formül Değer
(\tan \frac{x+y}{2}) (\frac{\sin \frac{x+y}{2}}{\cos \frac{x+y}{2}}) (\frac{1}{2})
(\cos \frac{x+y}{2}) (\frac{1}{\sqrt{1+(1/2)^2}}) (\frac{2}{\sqrt{5}})
(\cos \frac{x - y}{2}) (\frac{1/3}{\cos \frac{x+y}{2}}) (\frac{\sqrt{5}}{6})
(\cos(x - y)) (2 \cos^2 \frac{x-y}{2} -1) (-\frac{13}{18})

Sık Sorulan Sorular

1. Toplam ve fark trigonometrik formüller nelerdir?
Toplamlar şöyle ifade edilir:
[
\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}
]
[
\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}
]

2. Cos(x-y) nasıl hesaplanır?
[
\cos(x - y) = 2 \cos^2 \frac{x-y}{2} - 1
]

3. Neden (\tan) kullanıldı?
Toplam sinüs ve kosinüs ifadelerinin oranı, (\tan \frac{x+y}{2}) formuna dönüştürüldüğü için kolaylık sağlar.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik sorular veya toplam-fark formülleriyle ilgili farklı soru çözümlerine devam etmek ister misiniz?
Ya da özel trigonometrik kimliklerin pratik kullanımı hakkında örnekler isterseniz yardımcı olabilirim.

@Abdurrahman2134

3

sin x + sin y = 1/3, cos x + cos y = 2/3 ise cos(x − y) kaçtır?

  • Sinüs ve kosinüs toplam formülleri trigonometrik ifadeleri ortalama ve fark yarı açılarına dönüştürür.
  • Ortak faktör olarak \cos\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr) alınarak iki denklemden yararlanılır.
  • Sonuçta \cos(x-y)=2\cos^2\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)-1 kimliği ile -\,\tfrac{13}{18} bulunur.
  1. Çözüm Adımları
  2. Formül Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. sinüs ve kosinüs toplam formüllerini uygulayalım:
    $$\begin{cases}
    \sin x + \sin y = 2\sin!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)=\tfrac13,\[6pt]
    \cos x + \cos y = 2\cos!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\cos!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)=\tfrac23.
    \end{cases}$$

  2. S=\tfrac{x+y}{2}, D=\tfrac{x-y}{2} diyelim.
    $$\begin{aligned}
    &2\sin S\cos D=\tfrac13;\Rightarrow;\sin S\cos D=\tfrac16,\
    &2\cos S\cos D=\tfrac23;\Rightarrow;\cos S\cos D=\tfrac13.
    \end{aligned}$$

  3. \tan S=\tfrac{\sin S}{\cos S}=\tfrac{1/6}{1/3}=\tfrac12\;\Rightarrow\;\cos S=\tfrac{2}{\sqrt5},\;\sin S=\tfrac{1}{\sqrt5}.

  4. \cos D=\dfrac{1/3}{\cos S}=\dfrac{\sqrt5}{6}.

  5. \displaystyle \cos(x-y)=\cos(2D)=2\cos^2D-1=2\bigl(\tfrac{5}{36}\bigr)-1=-\tfrac{13}{18}\,.

Cevap: \displaystyle -\tfrac{13}{18}.

Formül Karşılaştırma Tablosu

Özellik Sinüs Toplamı Kosinüs Toplamı
Genel İfade \sin x + \sin y = 2\sin S\cos D \cos x + \cos y = 2\cos S\cos D
Tanımlamalar S=\tfrac{x+y}{2},\;D=\tfrac{x-y}{2} S=\tfrac{x+y}{2},\;D=\tfrac{x-y}{2}
Elde Edilen Denklemdeki Değer \tfrac13 \tfrac23

Özet Tablosu

Değişken Değer
\tan S \tfrac12
\cos S \tfrac{2}{\sqrt5}
\sin S \tfrac{1}{\sqrt5}
\cos D \tfrac{\sqrt5}{6}
\cos(x-y) -\tfrac{13}{18}

SSS

  1. S: \cos(x+y) nasıl bulunur?
    C: \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.

  2. S: \sin(x-y) formülü nedir?
    C: \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y.

  3. S: Bu yöntemi tüm trigonometrik toplam denklemlerine uygulayabilir miyiz?
    C: Evet, benzer formüllerle n terimli toplamlar da yarı açılara indirgenebilir.

  4. S: Sonuç işaretinin negatif çıkmasının nedeni nedir?
    C: \cos D<1 ve \cos(2D)=2\cos^2D-1 ifadesi, \cos^2D<\tfrac12 olduğunda negatif sonucu verir.

Bu adımları pekiştirmek için benzer bir trigonometrik toplam sorusu çözmek ister misiniz?
@Abdurrahman2134