\sin^4 x - os^2 x - os^4 x - 3\sin^2 x ifadesinin değeri kaçtır?
Trigonometrik İfadenin Sadeleştirilmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki kare farkı özdeşliği: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
- Temel trigonometrik özdeşlik: \sin^2 x + \cos^2 x = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İki kare farkı özdeşliğini uygulama
Dördüncü dereceden terimleri yan yana getirerek iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayıralım:
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)
\sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliğini yerine yazarsak:
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = \sin^2 x - \cos^2 x
Adım 2 — Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine koyma
Orijinal ifadede \sin^4 x - \cos^4 x yerine bulduğumuz eşitliği yazalım ve benzer terimleri toplayalım:
E = (\sin^2 x - \cos^2 x) - \cos^2 x - 3\sin^2 x
E = (\sin^2 x - 3\sin^2 x) + (-\cos^2 x - \cos^2 x)
E = -2\sin^2 x - 2\cos^2 x
Adım 3 — Ortak çarpan parantezine alma ve sonucu bulma
İfadeyi -2 parantezine alarak temel trigonometrik özdeşliği uygulayalım:
E = -2(\sin^2 x + \cos^2 x)
E = -2 \cdot 1 = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Trigonometrik Özdeşliği: Herhangi bir x reel sayısı için \sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği daima sağlanır ve trigonometrik sadeleştirmelerin temel taşıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eksi işaretlerini paranteze dağıtırken veya gruplandırırken işaret hatası yaparak -2\cos^2 x yerine 0 bulmak.- Doğru Yaklaşım: -\cos^2 x - \cos^2 x = -2\cos^2 x olduğunu ve katsayıların doğru toplandığını kontrol etmek.
Benzer bir trigonometrik sadeleştirme sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?