((sin x + cos x)² - 1)/(sin x)

Question Answer
1
  1. A kamerasının kulenin tepe noktasına olan uzaklığı kaç metredir?
    A) 30
    B) 40
    C) 50
    D) 60
    E) 80
  2. B kamerasının kulenin tepe noktasına olan uzaklığı kaç metredir?
    A) 20
    B) 20\sqrt{2}
    C) 40
    D) 40\sqrt{2}
0 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,

\frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\sin x}
ifadesi \cos x ifadesinin kaç katıdır?
A) \frac{1}{4}
B) \frac{1}{2}
C) 1
D) 2
E) 4

A kamerasının kulenin tepe noktasına olan uzaklığı kaç metredir?
A kamerasının kulenin tepe noktasına olan uzaklığı kaç metredir?1024×768 151 KB

2

Özel Dik Üçgenler ve Trigonometrik Özdeşlikler

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • 30^\circ-60^\circ-90^\circ Üçgeni: 30^\circ’nin karşısındaki kenar, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir (\text{Hipotenüs} = 2 \times \text{Karşı}).
  • 45^\circ-45^\circ-90^\circ Üçgeni: İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarların \sqrt{2} katıdır (\text{Hipotenüs} = a\sqrt{2}).
  • Pisagor Özdeşliği ve Tam Kare Açılımı: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ve \sin^2 x + \cos^2 x = 1.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

6. Soru Çözümü: A Kamerasının Kule Tepesine Uzaklığı (|AC|)

Kulenin zemine dik ayağı H ve tepe noktası C olmak üzere, CHA bir dik üçgendir (m(\widehat{CHA}) = 90^\circ).

  • Kule yüksekliği: |CH| = 40\text{ m}
  • A noktasındaki kameranın yerle yaptığı açı: m(\widehat{CAH}) = 30^\circ

30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgeninde hipotenüs (|AC|):

\sin 30^\circ = \frac{|CH|}{|AC|} \implies \frac{1}{2} = \frac{40}{|AC|} \implies |AC| = 80\text{ m}

7. Soru Çözümü: B Kamerasının Kule Tepesine Uzaklığı (|BC|)

CHB bir ikizkenar dik üçgendir (m(\widehat{CHB}) = 90^\circ, m(\widehat{CBH}) = 45^\circ).

  • Dik kenar uzunluğu: |CH| = 40\text{ m}
  • Taban uzunluğu: |BH| = 40\text{ m}

45^\circ-45^\circ-90^\circ kuralına göre hipotenüs (|BC|):

|BC| = |CH| \cdot \sqrt{2} = 40\sqrt{2}\text{ m}

9. Soru Çözümü: Trigonometrik Sadeleştirme

Verilen ifadenin payındaki tam kare açılımı yapılır:

(\sin x + \cos x)^2 - 1 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x - 1

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği yerine yazıldığında:

= (1 + 2\sin x \cos x) - 1 = 2\sin x \cos x

İfade paydaya bölünür:

\frac{2\sin x \cos x}{\sin x} = 2\cos x

Bulunan 2\cos x ifadesinin \cos x ifadesine oranı:

\frac{2\cos x}{\cos x} = 2

:white_check_mark: CEVAP:

  • 6. Soru: E) 80 (|AC| = 80\text{ m})
  • 7. Soru: D) 40\sqrt{2} (|BC| = 40\sqrt{2}\text{ m})
  • 9. Soru: D) 2 (İfade \cos x’in 2 katıdır)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
(\sin x \pm \cos x)^2 kalıbı trigonometri sorularında çok sık karşılaşılan bir yapıdır ve doğrudan 1 \pm 2\sin x \cos x = 1 \pm \sin 2x olarak pratikçe açılabilir.