Sin x − cos x = 1/3 olmak üzere, (sin x + sec x)/sec x toplamı kaçtır?

[Meral_Bektas (Meral Bektaş)]

[Geometri_Danismani (Geometri ve Sayısal Danışmanı)]

sin x − cos x = 1/3 olmak üzere, (sin x + sec x)/sec x toplamı kaçtır?

Key Takeaways

• sin x − cos x = 1/3
• sin² x + cos² x = 1
• (sin x + sec x)/sec x = sin x·cos x + 1

Cevap: İfadenin değeri $13/9$’dur.

İçindekiler

1. Derinlemesine Çözüm
2. Özet Tablo
3. Sıkça Sorulan Sorular

Derinlemesine Çözüm

Verilen: s = \sin x, c = \cos x ve

s - c = \frac{1}{3},\quad s^2 + c^2 = 1.

Aranılan ifade

\frac{\sin x + \sec x}{\sec x} = \sin x\cdot\frac{1}{\sec x} + \frac{\sec x}{\sec x} = \sin x\cos x + 1.

$s-c$’nin karesi:

(s - c)^2 = s^2 - 2sc + c^2 = 1 - 2sc = \frac{1}{9} \;\;\Longrightarrow\;\;2sc = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \;\;\Longrightarrow\;\;sc = \frac{4}{9}.

Buna göre

\sin x\cos x + 1 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}.

Özet Tablo

Açıklama	İfade
Fark	s - c = \tfrac{1}{3}
Kimlik	s^2 + c^2 = 1
Çarpım	s\,c = \tfrac{4}{9}
Aranan İfade Değeri	s\,c + 1 = \tfrac{13}{9}

Sıkça Sorulan Sorular

1. S: Sec x nedir?
   C: \sec x = 1/\cos x olarak tanımlıdır.
2. S: Neden (\sin x + \sec x)/\sec x ifadesi \sin x\cos x + 1 şeklinde sadeleşiyor?
   C: Paydadaki $\sec x$’e bölme, bileşenleri ayrı ayrı bölmenize imkân verir:
   \frac{\sin x}{\sec x} + \frac{\sec x}{\sec x} = \sin x\cos x + 1.
3. S: Benzer denklem verildiğinde aynı yöntem nasıl uygulanır?
   C: Önce kare alma yöntemiyle sc terimini bulun, sonra ifadenizi trigonometrik özdeşliklerle sadeleştirin.
4. S: Negatif sonuç çıkma ihtimali var mı?
   C: s-c=1/3 koşulu, sc=4/9 sonucunu tek yönlü belirler; negatif çarpım seçeneği bu denklemle uyumlu değildir.

Başka bir trigonometrik ifadeyi benzer yöntemle çözmek ister misiniz?
@Meral_Bektas

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

Trigonometrik İfade ve Özdeşlik Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

• Verilen: \sin x - \cos x = \frac{1}{3}
• Soru: \frac{\sin x + \sec x}{\sec x} ifadesinin değeri
• Bilmecede trigonometrik özdeşlikler ve dönüşümler kullanılır
• Sonuç kesirli bir değerdir, seçenekler arasında bulunacak

İçindekiler

1. Problemin Analizi ve Verilen Bilgiler
2. Çözüm Adımları
3. Sonucun Hesaplanması
4. Özet Tablo
5. Sık Sorulan Sorular

---

1. Problemin Analizi ve Verilen Bilgiler

Verilen bilgi:

\sin x - \cos x = \frac{1}{3}

Aradığımız ifade:

\frac{\sin x + \sec x}{\sec x}

Bu ifadeyi açarsak:

\frac{\sin x + \sec x}{\sec x} = \frac{\sin x}{\sec x} + \frac{\sec x}{\sec x} = \sin x \cdot \cos x + 1

Çünkü \sec x = \frac{1}{\cos x}, dolayısıyla paydanın paydası ile sadeleşiyor.

Böylece soru, \sin x \cos x + 1 ifadesinin değerini sormaktadır.

---

2. Çözüm Adımları

Elimizdeki ifade:

\sin x - \cos x = \frac{1}{3}

İlk olarak karesini alalım ve trigonometrik özdeşlikleri kullanalım:

(\sin x - \cos x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}

\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{9}

Özdeşlik gereği \sin^2 x + \cos^2 x = 1, o halde:

1 - 2 \sin x \cos x = \frac{1}{9}

-2 \sin x \cos x = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}

\sin x \cos x = \frac{4}{9}

---

3. Sonucun Hesaplanması

Biliyoruz ki:

\sin x \cos x = \frac{4}{9}

Aradığımız ifade:

\sin x \cos x + 1 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{4}{9} + \frac{9}{9} = \frac{13}{9}

---

4. Özet Tablo

Adım	İşlem	Sonuç
Verilen	\sin x - \cos x = \frac{1}{3}	-
Kare alma	\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{9}	-
Trigonometrik özdeşlik	\sin^2 x + \cos^2 x = 1	-
Düzenleme	1 - 2 \sin x \cos x = \frac{1}{9}	-
\sin x \cos x bulunması	\sin x \cos x = \frac{4}{9}	\sin x \cos x = \frac{4}{9}
Aranan ifade	\sin x \cos x + 1	\frac{13}{9}

---

Sık Sorulan Sorular

1. Neden ifadeyi \sin x \cos x + 1 olarak sadeleştirdik?
\sec x ifadesi, \frac{1}{\cos x} anlamındadır. \frac{\sin x + \sec x}{\sec x} = \sin x \cdot \cos x + 1 olarak sadeleşir.

2. Başka hangi trigonometrik dönüşümler bu tür sorularda işlem kolaylığı sağlar?
Kök hesaplarında ve toplam-fark ifadelerinde, kare alma ve trigonometrik özdeşliklerin kullanımı en yaygın yöntemdir.

3. Bu soruda neden \sin^2 x + \cos^2 x = 1 doğrudur?
Bu temel trigonometrik özdeşliktir ve her açı için geçerlidir. Soru da bu özdeşliği kullanarak çözüm yapılır.

---

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik ifadelerde ve özdeşliklerde farklı soru tipleri görmek ister misiniz? Ya da belirli bir trigonometrik özdeşliği nasıl hızlıca kullanabileceğinizi açıklayayım mı?

---

@Meral_Bektas