Sin(11°) + √3·cos(11°) bölü cos(19°) işleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

image
image418×311 9.33 KB

2

Trigo.3 Soru Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: (\frac{\sin 11^\circ + \sqrt{3} \cdot \cos 11^\circ}{\cos 19^\circ})
  • Trigonometrik açı toplama ve sinüs/kosinüs dönüşümleri kullanılabilir
  • Sonuç seçeneklerde köklü ifadelerle verilmiş, basitleştirme önemli

Verilen ifadeyi daha sade hale getirmek için paydadaki açılara dikkat ederek ve pay kısmı trigonometrik dönüşümlerle açarak başlayabiliriz.

İçindekiler

  1. Verilen İfadenin İncelenmesi
  2. Payın Dönüştürülmesi
  3. Sonucun Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Verilen İfadenin İncelenmesi

İfade:
[
\frac{\sin 11^\circ + \sqrt{3} \cdot \cos 11^\circ}{\cos 19^\circ}
]

Pay kısmında (\sin 11^\circ + \sqrt{3} \cos 11^\circ) var. Bunun açıyı birleştirerek yazılması mümkündür.

Trigonometrik açı toplamı formüllerinde,
[
a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)
]
şeklinde yazılabilir; burada (\alpha = \arctan(\frac{b}{a})).

Bizim durumda (a = 1), (b = \sqrt{3}).

Payın Dönüştürülmesi

Hesaplayalım:
[
R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2
]

[
\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = 60^\circ
]

Buna göre
[
\sin 11^\circ + \sqrt{3} \cos 11^\circ = 2 \sin(11^\circ + 60^\circ) = 2 \sin 71^\circ
]

Sonucun Hesaplanması

İfade artık:
[
\frac{2 \sin 71^\circ}{\cos 19^\circ}
]

Burada dikkat edilirse, (71^\circ = 90^\circ - 19^\circ) olduğundan
[
\sin 71^\circ = \sin(90^\circ - 19^\circ) = \cos 19^\circ
]

Böylece, verilen ifade:
[
\frac{2 \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ} = 2
]

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Paydaki dönüşüm (\sin 11^\circ + \sqrt{3} \cos 11^\circ = 2 \sin 71^\circ) 2 sin 71°
Sinüs-kosinüs ilişkisi (\sin 71^\circ = \cos 19^\circ) (\cos 19^\circ)
Son ifade (\frac{2 \cos 19^\circ}{\cos 19^\circ} = 2) 2

Sık Sorulan Sorular

1. (\sin a + \sqrt{3} \cos a) ifadesi nasıl daha kolay hesaplanır?
Trigonometrik toplama formülü kullanılarak,
[
a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)
]
şeklinde ifade edilir ve problemler sadeleşir.

2. Trigonometrik ifadelerde açıların toplamı nasıl bulunur?
(\arctan) fonksiyonu ile açı tanımlanarak, verilen katsayıların oranından ek açılar belirlenir.

3. (\sin(90^\circ - x)) ifadesinin sonucu nedir?
[
\sin(90^\circ - x) = \cos x
]
Bu trigonometrik eşitlik birçok problemde basitleştirme sağlar.

Sonraki Adımlar

İsterseniz farklı açı kombinasyonları için benzer trigonometrik dönüştürme örnekleri çözebilirim. Veya açı toplamı ve farkı formüllerini detaylı görsellerle açıklayabilirim, ilginizi çeker mi?

@Abdurrahman2134

3

sin(11°) + √3·cos(11°) bölü cos(19°) işleminin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • A\sin x + B\cos x ifadesi, R\sin(x+\varphi) formuna dönüştürülebilir.
  • R = \sqrt{A^2 + B^2} ve \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{B}{A}\bigr) formülleri kullanılır.
  • \sin(71°) = \cos(19°) kimliği, sonucun basitçe bulunmasını sağlar.

İşlemin sonucu 2’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Kimlikler Karşılaştırması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm Özeti

  1. Sayıyı A\sin x + B\cos x formunda yaz:
    $$\sin 11° + \sqrt{3}\cos 11° = 2\sin(11°+60°)=2\sin71°.$$
  2. Alt kısmı \cos19° olarak al ve \sin71°=\cos19° kimliğini uygula.
  3. Sonuç:
    $$\frac{2\sin71°}{\cos19°}=\frac{2\cos19°}{\cos19°}=2.$$

Adım Adım Çözüm

  1. İfadeyi
    $$A=1,\quad B=\sqrt3$$
    olarak gör ve
    $$R=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2,\quad \varphi=\arctan\frac{\sqrt3}{1}=60°.$$
  2. A\sin x+B\cos x=R\sin(x+\varphi) formülünü kullanarak:
    $$\sin11°+\sqrt3\cos11°=2\sin(11°+60°)=2\sin71°.$$
  3. Bölme işlemi:
    $$\frac{2\sin71°}{\cos19°}$$
    ve \sin71°=\cos19° olduğundan:
    $$\frac{2\cos19°}{\cos19°}=2.$$

Kimlikler Karşılaştırması

Özellik A\sin x + B\cos x Genel Formu R\sin(x+\varphi) Temsili
Katsayılar A,\;B R=\sqrt{A^2+B^2}
Açının kaydırılması – \varphi=\arctan(B/A)
Uygulama Toplama Tek sinüs fonksiyonu
Hesaplama kolaylığı Karmaşık Basitleştirilmiş

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. Katsayı Bulma A=1,\;B=\sqrt3 –
2. R,\varphi Hesap R=\sqrt{1+3}=2,\;\varphi=60° –
3. Dönüşüm \sin11°+\sqrt3\cos11°=2\sin71° –
4. Bölme \frac{2\sin71°}{\cos19°} 2

SSS

  1. A\sin x+B\cos x ifadesini R\sin(x+\varphi) formuna neden dönüştürürüz?
    Daha tek fonksiyonla çalışmak hesaplama kolaylığı sağlar.
  2. R ve \varphi nasıl bulunur?
    R=\sqrt{A^2+B^2}, \varphi=\arctan\bigl(\tfrac{B}{A}\bigr) formülleriyle.
  3. \sin(90°-x)=\cos x kimliği her zaman geçerli mi?
    Evet, bu temel açı dönüşüm kimliği trigonometrinin geneli için geçerlidir.
  4. Bu yöntem diğer açı değerleri için de uygulanabilir mi?
    Evet, her A\sin x+B\cos x ifadesinde aynı formülle genelleştirilebilir.

Başka trigonometrik ifadeleri R\sin(x+\varphi) yöntemiyle örnek çözmemi ister misin?
@Abdurrahman2134