Sıfırdan farklı x ve y gerçek sayıları için y < x ve x² < y² olduğuna göre yalnızca II. ifade (x + y < 0) her zaman doğrudur

YKS TYT
1

image
image720×960 28.2 KB

2

Sıfırdan Farklı x ve y Gerçek Sayıları için İfade Doğruluğu

Önemli Noktalar

  • Verilen koşullar: y < x ve x^2 < y^2
  • Amaç: İfadelerden hangilerinin her zaman doğru olduğunu belirlemek
  • İncelenen ifadeler:
    1. x \cdot y > 0
    2. x + y < 0
    3. \frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0

Soru Analizi ve Çözüm

Verilen:

y < x, \quad x^2 < y^2, \quad x \neq 0, \quad y \neq 0

Öncelikle x^2 < y^2 ifadesinden:

|x| < |y|

olur.

Buna göre iki durum olabilir:

Durum 1: y < x < 0

  • Çünkü y < x ve büyüklük olarak |x| < |y| .
  • Örnek: y = -5, x = -3 → y < x doğru, |x|=3 < 5=|y| doğru.

Bu durumda;

  1. x \cdot y = (-3) \cdot (-5) = 15 > 0 (İfade I doğru)
  2. x + y = -3 + (-5) = -8 < 0 (İfade II doğru)
  3. \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{-3} - \frac{1}{-5} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = -\frac{2}{15} < 0 (İfade III yanlış)

Durum 2: 0 < y < x

  • Ancak bu çelişkilidir çünkü verilen koşul y < x fakat x^2 < y^2 , yani büyüklüğü daha küçük olanın karesi küçük olmalıdır.
  • y < x ve 0 < y < x durumu için |x| > |y| olur bu da x^2 > y^2 olur ve verilen koşulla çelişir. Bu durum mümkün değildir.

Durum 3: x < 0 < y

  • y < x koşulu sağlanmıyor. Bu durumda da mümkün değil.

Sonuç:

  • Tek geçerli durum y < x < 0
  • Bu durumda:
    • I ve II ifadeleri her zaman doğru
    • III ifadesi yanlış olabilir

Cevap: C) I ve II

İçindekiler

  1. İlişkili Koşulların Analizi
  2. İfadelerin Tek Tek İncelenmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. İlişkili Koşulların Analizi

  • y < x ve x^2 < y^2 koşulları incelendiğinde |x| < |y| olduğu sonucuna varılır.
  • y < x olduğunda ve bu durumun tutarlı olması için her ikisinin de negatif olması gerekir.
  • Pozitif tarafta ise y < x ve |x| < |y| aynı anda sağlanamaz.

2. İfadelerin Tek Tek İncelenmesi

İfade Numarası İfade Durumu Sonuç
I x \cdot y > 0 Negatif iki sayının çarpımı pozitiftir Doğru
II x + y < 0 Negatif iki sayı toplamı negatiftir Doğru
III \frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0 Örnekle test edildiğinde yanlış olabiliyor Her zaman doğru değil

3. Karşılaştırma Tablosu

İfade Durum Doğruluk Sebep
I. (x \cdot y > 0) y < x < 0 Doğru Negatif sayıların çarpımı pozitiftir
II. (x + y < 0) y < x < 0 Doğru Negatif sayıların toplamı negatiftir
III. \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0\right) y < x < 0 Yanlış olabilir Örneklerle test edildiğinde sağlanmaz

4. Özet Tablo

İfade Her Zaman Doğru mu?
I (Çarpım) Evet
II (Toplam) Evet
III (Kesir) Hayır

5. Sık Sorulan Sorular

1. Neden sadece y < x < 0 durumu geçerli?
Çünkü verilen koşullar y < x ve |x| < |y| çelişkili olmaması için her iki sayının da negatif olması gerekir.

2. Üçüncü ifade neden her zaman doğru değil?
Örnek alındığında, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} ifadesinin işareti, x ile y arasındaki büyüklük ve işaret farkına göre değişir; bu yüzden koşullar altında sabit bir işarete sahip değildir.

3. Bu tür soruları çözerken nelere dikkat edilmeli?
İşaret ve büyüklük koşullarını ayrı ayrı ve dikkatli analiz etmek gerekir. Örnek sayılarla test etmek, çıkarımların doğruluğunu sınamak için çok yararlıdır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer işaret ve büyüklük karşılaştırmaları içeren farklı problem örnekleri hazırlayabilir ya da bu konudaki temel kavramları detaylı açıklayabilirim. Hangisini tercih edersiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

Sıfırdan farklı x ve y gerçek sayıları için y < x ve x² < y² olduğuna göre yalnızca II. ifade (x + y < 0) her zaman doğrudur.

Anahtar Noktalar

  • x² < y² ifadesi, |x|<|y| demektir.
  • y < x koşulu ile birlikte yalnızca iki durum mümkündür:
    1. Her iki sayı negatif (|y| > |x|).
    2. y negatif, x pozitif ve |y|>|x|.
  • Bu iki durumda yalnızca II. ifade (x+y<0) her zaman negatiftir.

İçindekiler

  1. Durum Analizi
  2. İfadelerin Doğruluk Kontrolü
  3. Karşılaştırmalı Tablo
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Durum Analizi

Şartlardan çıkarımlar:

  • x^2<y^2\implies |x|<|y|.
  • y<x.

Bu iki koşul bir arada ancak şu durumlarda sağlanır:

  1. Her ikisi de negatif
    Örnek: y=-5,\;x=-3\quad(\;y<x,\;|x|=3<5=|y|\;)
  2. y negatif, x pozitif ve |y|>|x|
    Örnek: y=-10,\;x=5\quad(\;y<x,\;5<10\;)

Her iki pozitif olamaz çünkü pozitiflerde y<x ise |y|<|x|, bu da x^2<y^2 ile çelişir.

İfadelerin Doğruluk Kontrolü

İfadeler:
I. x\cdot y\ge0
II. x+y<0
III. \displaystyle\frac1x-\frac1y>0

  1. Durum 1 (her ikisi negatif):

    • I: (-)\cdot(-)>0\;\checkmark
    • II: negatif + negatif < 0 \checkmark
    • III: \displaystyle\frac1x-\frac1y=\frac{y-x}{xy};
      y-x<0, xy>0\implies tümüyle <0\;\times

  2. Durum 2 (y negatif, x pozitif, |y|>|x|):

    • I: (+)\cdot(-)<0\;\times
    • II: y+x=-(|y|-|x|)<0\;\checkmark
    • III: y-x<0, xy<0\implies\displaystyle\frac{y-x}{xy}>0\;\checkmark

Sonuç:

  • I. ifade her iki durumda tutarlı değil.
  • II. ifade her iki durumda da negatif ve her zaman doğru.
  • III. ifade yalnızca Durum 2’de doğru.

Karşılaştırmalı Tablo

Durum I. x\cdot y\ge0 II. x+y<0 III. \frac1x-\frac1y>0
1) Her ikisi negatif Doğru Doğru Yanlış
2) y negatif, x pozitif, $ y > x

Özet Tablosu

Koşullar Mümkün Durumlar Hep Doğru İfade
y<x ve $x^2<y^2;(=; x <

SSS

S1. Neden x ve y ikisi de pozitif olamaz?
C1. Pozitif sayılarda y<x\implies |y|<|x|, bu da x^2<y^2 ile çelişir.

S2. I. ifade hangi durumda yanlıştır?
C2. y negatif, x pozitif olduğunda x\cdot y<0 olduğu için I. ifade yanlıştır.

S3. III. ifade neden durum 1’de yanlış?
C3. Durum 1’de xy>0 ve y-x<0 olduğundan \frac{y-x}{xy}<0 çıkar.

S4. II. ifadenin negatifi her iki durumda neden garantili?
C4. Her iki durumda da $y$’nin mutlak değeri $x$’ten büyük olduğundan x+y=-(|y|-|x|)<0.

Anlayışınızı pekiştirmek için bu konuyla ilgili 3 adet örnek soru çözmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli