(2024 / MSÜ)
Sifirdan farklı a ve b gerçel sayıları için’a+b
b-a
sayılarından hiçbiri pozitif sayı değildir.
Buna göre,
II. a-2b
II. 2a -b
ifadelerinden hangileri kesinlikle pozitlf sayıdır?
A) Yalnızl
B) Yalnız I|
C) I ve ll
E) 1, Il ve lll
D) I ve lil
2024 MSÜ — Sıfırdan Farklı Gerçel Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret İncelemesi
KULLANILAN KURAL / TANIM:
- Bir gerçel sayının “pozitif olmaması”, o sayının sıfıra eşit veya sıfırdan küçük (\le 0) olması anlamına gelir.
- x \le y ve y \le x ise zorunlu olarak x = y olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen İfadeleri Matematiksel Eşitsizlik Olarak Yazma
Soru kökünde a + b, a - b ve b - a sayılarının hiçbirinin pozitif olmadığı belirtilmiştir:
- a + b \le 0
- a - b \le 0 \implies a \le b
- b - a \le 0 \implies b \le a
Adım 2 — a ve b Arasındaki Eşitliği ve İşareti Belirleme
- a \le b ve b \le a eşitsizliklerinin aynı anda sağlanması ancak a = b durumunda mümkündür.
- a = b eşitliğini a + b \le 0 eşitsizliğinde yerine yazarsak:
a + a \le 0 \implies 2a \le 0 \implies a \le 0
- Soruda a ve b sayılarının sıfırdan farklı olduğu verildiği için (a \neq 0 ve b \neq 0):
a = b < 0
Yani a ve b birbirine eşit iki negatif gerçel sayıdır.
Adım 3 — Öncüllerin İncelenmesi
- I. Öncül (a \cdot b):
a = b ve her ikisi de negatif olduğundan:
a \cdot b = a \cdot a = a^2
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi daima pozitiftir (a^2 > 0). Bu ifade kesinlikle pozitiftir.
- II. Öncül (a - 2b):
b yerine a yazarsak:
a - 2a = -a
a < 0 (negatif) olduğundan, -a > 0 (pozitif) olur. Bu ifade kesinlikle pozitiftir.
- III. Öncül (2a - b):
b yerine a yazarsak:
2a - a = a
a < 0 olduğundan bu ifadenin sonucu negatiftir. Pozitif olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Olmayan Sayı Kavramı
- Tanım: Sıfır veya negatif olan (x \le 0) sayılardır.
- Bu problemde: a-b \le 0 ve b-a \le 0 durumlarını birlikte sağlayarak a=b eşitliğini bulmamızı sağladı.
2. Negatif Sayıların Çarpımı ve Zıt İşaretlisi
- Tanım: Negatif iki sayının çarpımı pozitif, negatif bir sayının (-1) ile çarpımı ise yine pozitiftir.
- Bu problemde: a < 0 iken a \cdot b = a^2 > 0 ve -a > 0 bağıntılarını doğrulamada kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Pozitif Değil” İfadesini Sadece “Negatiftir” Diye Almak
- Yanlış: a - b < 0 ve b - a < 0 kabul edip çelişki olduğunu düşünmek.
- Doğru: “Pozitif değil” ifadesi sıfırı da kapsar (\le 0). Böylece a - b = 0 durumu yakalanır ve a = b bağıntısına ulaşılır.
- Neden yanlış: Sıfır sayısı ne pozitif ne de negatiftir; bu nedenle pozitif olmayan sayılar kümesine sıfır mutlaka dahil edilmelidir.
Eşitsizlikler ve temel kavramlar konusunda benzer bir ÖSYM tarzı soru çözmemi ister misin?