Şiddetli bir fırtına sonucu direk orta noktası olan C noktasından kırılıp direğin A ucu duvarın üst kısmına değmiş ve aşağıdaki gibi dengede kalmıştır.
Görseldeki verilere göre duvarın yüksekliği 8 metre, direğin B noktası ile duvar arasındaki uzaklık x metredir. Direğin C noktasından itibaren oluşan açısı 60^irc olduğuna göre, x kaç metredir?
Kırılan Direk Problemi ve Uzaklık Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgen Bağıntısı:30^\circ\text{'nin karşısındaki kenar} = k60^\circ\text{'nin karşısındaki kenar} = k\sqrt{3}90^\circ\text{'nin karşısındaki kenar (hipotenüs)} = 2k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Geometrik Modeli Oluşturma
Direğin kırılmadan önceki parçasının tabanı B, kırılma noktası C ve duvarın üst ucu A olsun. A noktasından direğin düşey gövdesi [BC] üzerine bir dikme indirelim ve bu dikme ayağına H diyelim:
- [AH] zemine paraleldir, bu nedenle uzunluğu duvar ile direk arasındaki mesafe olan x değerine eşittir: |AH| = x.
- AB doğrultusundaki zemin dikliği ve dikdörtgen özelliklerinden dolayı H noktasının zeminden yüksekliği duvarın yüksekliğine eşittir: |HB| = 8\text{ m}.
Adım 2 — Özel Dik Üçgende Kenar İlişkilerini Yazma
Oluşan AHC dik üçgeninde \widehat{ACH} = 60^\circ olduğuna göre \widehat{HAC} = 30^\circ olur.
- 30^\circ’nin karşısındaki kenara |CH| = k dersek;
- 90^\circ’nin karşısındaki hipotenüs: |AC| = 2k olur.
Adım 3 — Direğin Orta Noktası Bilgisini Kullanarak k Değerini Bulma
C noktası direğin orta noktası olduğundan, kırılan üst parça ile ayakta kalan alt parçanın uzunlukları eşittir:
|AC| = |BC|
Şekilden |BC| = |HB| + |CH| = 8 + k olduğunu biliyoruz. |AC| = 2k bağıntısını yerine koyarsak:
2k = 8 + k
k = 8\text{ m}
Buradan |CH| = 8\text{ m} ve hipotenüs |AC| = 16\text{ m} bulunur.
Adım 4 — x Uzaklığını Hesaplama
AHC dik üçgeninde x, 60^\circ’lik açının karşısındaki kenar olduğu için:
x = |AH| = k\sqrt{3}
x = 8\sqrt{3}\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 8\sqrt{3}\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 30^\circ-60^\circ-90^\circ Dik Üçgeni: Hipotenüsün yarısı 30^\circ’nin karşısındaki kenara, 30^\circ’nin karşısındaki kenarın \sqrt{3} katı ise 60^\circ’nin karşısındaki kenara eşittir.
- Orta Nokta Özelliği: Kırılan parçanın uzunluğu (|AC|), ayakta kalan parçanın uzunluğuna (|BC|) eşit kabul edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Duvarın yüksekliği olan 8\text{ m} değerini doğrudan dik üçgenin hipotenüsü veya 30^\circ’nin karşısındaki kenar olarak almak.- Doğru Yaklaşım: A noktasından direğe yatay bir dikme çizerek zemin ile duvar arasındaki 8\text{ m}'lik yüksekliği dik üçgenin tabanına aktarıp |BC| = 8 + |CH| eşitliğini kurmak.
Bu soru tipinde farklı bir açı veya duvar yüksekliği verilirse nasıl bir yol izleyeceğimizi birlikte incelemek ister misin?