Soru: Şekilde ABC üçgeninde |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c birimdir ve a^2 = b^2 + c^2 + bc olduğuna göre, m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) toplamı kaç derecedir?
Çözüm:
1. Verilenler ve Bilinmesi Gerekenler
- Üçgenin kenar uzunlukları:
BC = a, AC = b, AB = c - Verilen eşitlik:
a^2 = b^2 + c^2 + bc - İstenen:
m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) toplamı.
2. Üçgenin İç Açıları Toplamı
Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180^\circ'dir:
m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ
Bu nedenle, eğer m(\widehat{A}) bulunabilirse, m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) kolayca hesaplanabilir:
m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - m(\widehat{A})
3. Kosinüs Teoremi Kullanımı
Kosinüs teoremine göre, herhangi bir üçgende:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})
Burada a karşısındaki açı A'dır.
4. Verilen Eşitliği Kosinüs Teoremi ile Karşılaştırma
Verilen eşitlik:
a^2 = b^2 + c^2 + bc
Kosinüs teoremindeki eşitlik:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})
İki eşitliği yan yana yazalım:
b^2 + c^2 + bc = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})
Her iki taraftan b^2 + c^2 çıkaralım:
bc = - 2bc \cos(\widehat{A})
Her iki tarafı bc ile bölelim (burada b,c \neq 0 kabul edilir):
1 = -2 \cos(\widehat{A})
Buradan:
\cos(\widehat{A}) = -\frac{1}{2}
5. Açıyı Bulma
\cos(\widehat{A}) = -\frac{1}{2} olduğuna göre, \widehat{A} açısı:
\widehat{A} = 120^\circ
Çünkü kosinüsü -\frac{1}{2} olan temel açı 120^\circ'dir (veya 240^\circ, ama üçgen açısı olamayacağı için 120^\circ seçilir).
6. Sonuç
İç açılar toplamından:
m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
Cevap:
m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 60^\circ
Seçeneklerde C şıkkı doğru cevaptır.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Verilen eşitlik | a^2 = b^2 + c^2 + bc | - |
| Kosinüs teoremi | a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A | - |
| Eşitliklerin karşılaştırılması | bc = -2bc \cos A | \cos A = -\frac{1}{2} |
| Açı değeri | \cos A = -\frac{1}{2} | A = 120^\circ |
| İç açılar toplamı | B + C = 180^\circ - A | 60^\circ |
Eğer başka sorularınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! @ogrenci13
Soru: a² = b² + c² + b·c olduğuna göre m(∠B) + m(∠C) toplamı kaç derecedir?
İçindekiler
- Problemin Tanımı
- Kenar İlişkileri ve Kosinüs Teoremi
- Açı A’nın Hesaplanması
- Açı B ve C’nin Toplamı
- Çözüm Özeti Tablosu
- Sonuç
1. Problemin Tanımı
Elimizde ABC üçgeni var. Kenar uzunlukları şu şekilde verilmiş:
- BC = a
- AC = b
- AB = c
Ayrıca problemde aşağıdaki denklem sağlanıyor:
a^2 = b^2 + c^2 + b\,c
Bu bilgiye dayanarak m(∠B) + m(∠C) toplamının kaç derece olduğunu bulmak istiyoruz.
2. Kenar İlişkileri ve Kosinüs Teoremi
Üçgenin bir açısını hesaplayabilmek için en sık kullanılan yöntem Kosinüs Teoremi’dir. Açı A’nın karşısındaki kenar BC = a olduğuna göre, kosinüs teoremi şöyle yazar:
a^2 \;=\; b^2 + c^2 \;-\; 2\,b\,c\,\cos A
Burada:
- b = AC (A ve C noktalarını birleştiren kenar),
- c = AB (A ve B noktalarını birleştiren kenar),
- A = \angle BAC (üçgenin A açısı).
Elimizdeki özel şart ise:
a^2 = b^2 + c^2 + b\,c
Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek cos(A) ifadesini elde edebiliriz.
3. Açı A’nın Hesaplanması
Kosinüs Teoremi’ne göre
b^2 + c^2 + b\,c = a^2 = b^2 + c^2 \;-\; 2\,b\,c\,\cos A
Her iki taraftan b^2 + c^2 terimlerini çıkaralım:
b\,c = -\,2\,b\,c\,\cos A
Varsayalım ki b\neq 0 ve c\neq 0, o hâlde her iki tarafı b\,c ile bölürüz:
1 = -\,2\,\cos A
Böylece
\cos A = -\tfrac{1}{2}
Cos(A) = –½ değerini verdiğine göre, A açısı bilinen standart değerlerden şöyledir:
- \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}
Dolayısıyla
A açısı = 120°
4. Açı B ve C’nin Toplamı
Bir üçgende iç açılar toplamı 180° olduğuna göre:
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
Bulduğumuz A = 120° değerini yerine koyarsak:
120^\circ + \bigl(\angle B + \angle C\bigr) = 180^\circ
Buradan:
\angle B + \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
Sonuç olarak m(∠B) + m(∠C) = 60°.
5. Çözüm Özeti Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Verilen denklem | a^2 = b^2 + c^2 + b\,c | – |
| 2. Kosinüs Teoremi’ni yazma | a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A | – |
| 3. Eşitleme ve sadeleştirme | b^2 + c^2 + bc = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \;\Rightarrow\; 1 = -2\cos A | – |
| 4. \cos A bulunması | -2\cos A = 1 \;\Rightarrow\; \cos A = -\tfrac12 | – |
| 5. A açısının değeri | \cos A = \cos 120^\circ | A = 120^\circ |
| 6. B + C açılarının toplamı | B + C = 180^\circ - A = 180^\circ - 120^\circ | 60^\circ |
6. Sonuç
Verilen a^2 = b^2 + c^2 + b\,c koşulu, A açısının 120° olmasını sağlar. İç açılar toplamından da m(∠B) + m(∠C) = 60° bulunur.
Doğru seçenek: C) 60.