Sessiz yeşilliklerin öyküsü konusundaki matematik sorularının çözümü

LİSE 9.sınıf
1

!1000014569|376x500 [Link Silindi]

2

Sessiz yeşilliklerin öyküsü konusundaki matematik sorularının çözümü

Soruda verilen bilgiler ve grafikler doğrultusunda g(x) = |x| fonksiyonu ile ilgili sorulara adım adım cevap verelim.

Table of Contents

  1. Fonksiyonun Tanımı ve Grafik Yorumu
  2. a) Bağımsız Değişkenin Hangi Değeri İçin Bağımlı Değişken Sıfırdır?
  3. b) Bağımsız Değişkenin Hangi Aralıktaki Değerleri İçin Bağımlı Değişken Pozitif veya Negatiftir?
  4. c) Bağımlı Değişkenin Alabileceği En Büyük ve En Küçük Değerler
  5. d) Bağımsız Değişken Artarken Fonksiyonun Değeri Nasıl Değişir?
  6. e) Fonksiyonun Farklı Değerleri ve Geçerlilik Durumu

1. Fonksiyonun Tanımı ve Grafik Yorumu

  • Fonksiyon: g(x) = |x|
  • Bu fonksiyon, x değerinin mutlak değerini alır.
  • Grafik 1’de f(x) = x doğrusu, Grafik 2’de ise g(x) = |x| fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
  • g(x) fonksiyonu negatif x değerlerinde pozitif değerler alır çünkü mutlak değer negatif sayıyı pozitife çevirir.

2. a) Bağımsız Değişkenin Hangi Değeri İçin Bağımlı Değişken Sıfırdır?

  • g(x) = |x| fonksiyonunda, g(x) = 0 olması için |x| = 0 olmalıdır.
  • Mutlak değeri sıfır yapan tek sayı x = 0'dır.
  • Cevap: Bağımsız değişkenin 0 olduğu durumda bağımlı değişken sıfırdır.

3. b) Bağımsız Değişkenin Hangi Aralıktaki Değerleri İçin Bağımlı Değişken Pozitif veya Negatiftir?

  • g(x) = |x| fonksiyonu mutlak değer olduğundan her zaman sıfır veya pozitif değer alır.
  • Yani, g(x) \geq 0 ve negatif değer almaz.
  • Pozitif değer aldığı aralık: x \neq 0 için g(x) > 0
  • Negatif değer almaz.

4. c) Bağımlı Değişkenin Alabileceği En Büyük ve En Küçük Değerler

  • Mutlak değer fonksiyonunda en küçük değer 0'dır (sıfır).
  • En büyük değer ise verilen x aralığına bağlıdır. Eğer x için bir sınır yoksa, en büyük değer sonsuza gider.
  • Sorudaki tabloya göre x değerleri -2, -1, 0, 1, 2 olarak verilmiş.
  • Bu durumda en büyük değer |2| = 2
  • Özet:
    Değer Türü Değer
    En küçük 0
    En büyük 2

5. d) Bağımsız Değişken Artarken Fonksiyonun Değeri Nasıl Değişir?

  • g(x) = |x| fonksiyonunda, x pozitif yönde artarken g(x) da artar.
  • x negatif yönde artarken (örneğin -2'den -1'e doğru), g(x) azalır çünkü mutlak değer küçülür.
  • Özet:
    • x > 0 için g(x) artar.
    • x < 0 için x artarken (yani -3'ten -1'e doğru), g(x) azalır.
    • x=0'da minimum değer alınır.

6. e) Fonksiyonun Farklı Değerleri ve Geçerlilik Durumu

  • g(x) = |x| fonksiyonunda, farklı x değerleri farklı g(x) değerleri verir.
  • Örneğin, x=2 için g(2)=2, x=-2 için g(-2)=2 (aynı değer).
  • Ancak x=1 için g(1)=1, x=-1 için g(-1)=1 (aynı değer).
  • Sonuç: Fonksiyon farklı x değerleri için aynı g(x) değerini alabilir.
  • Bu durum, mutlak değer fonksiyonunun tanımına uygundur ve geçerlidir.

Özet Tablosu

Soru No Soru Özeti Cevap
a Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişken 0? x=0
b Bağımsız değişkenin hangi aralıkta bağımlı değişken pozitif/negatif? Pozitif: x \neq 0, Negatif: Yok
c Bağımlı değişkenin en büyük ve en küçük değeri En küçük: 0, En büyük: 2
d Bağımsız değişken artarken fonksiyonun değeri nasıl değişir? x>0 artarken g(x) artar, x<0 artarken g(x) azalır
e Fonksiyon farklı değerler için farklı mı? Farklı x için aynı g(x) olabilir, bu geçerlidir

Eğer sorunun başka bir kısmı varsa veya daha detaylı açıklama istersen, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım!

@leyla_Dogan1

3

Table of Contents

  2. Grafiğin Oluşturulması
  3. Soruların Cevapları
    3.1 Soru a)
    3.2 Soru b)
    3.3 Soru c)
    3.4 Soru d)
    3.5 Soru e)
  4. Özet Tablosu

1. g Fonksiyonunun Tanımı

Elimizde oluşturduğumuz fonksiyon:
g(x)=|x|

  • Tanım kümesi (domain): Tüm gerçek sayılar, yani (-\infty,\infty).
  • Görüntü kümesi (range): [0,\infty) (mutlaka sıfır veya sıfırdan büyük değerler alır).

Mutlak değer fonksiyonu, giren ẋ değerinin işaretini gözardı ederek yalnızca büyüklüğünü alır. Dolayısıyla:

  • x≥0 için g(x)=x
  • x<0 için g(x)=-x

2. Grafiğin Oluşturulması

Grafikte, negatif tarafta y=-x doğrusu (sol köşegen), pozitif tarafta y=x doğrusu (sağ köşegen) izlenir. İki kol noktasal olarak birleştiği yer x=0, y=0 noktasındadır.

Grafikte:

  • Sol kolda eğim –1, sağ kolda eğim +1’dir.
  • Orijin (0,0) tek “kırılma” noktasıdır.

3. Soruların Cevapları

3.1 Soru a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişken sıfırdır?

g(x)=|x| ifadesi ancak x=0 için sıfır alır.
Cevap: x=0 için g(x)=0.

3.2 Soru b) x’in hangi aralıklardaki değerleri için g(x) negatif veya pozitif olur?

  • Negatif değer: g(x) hiçbir x değeri için negatif olamaz. Çünkü mutlak değer $\ge0$’dır.
  • Pozitif değer: g(x)>0, x≠0 olduğu sürece geçerlidir. Yani x∈$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$.

Özet:

  • g(x)<0 için geçerli x aralığı: ∅ (boş küme)
  • g(x)>0 için geçerli x aralığı: (-\infty,0)\cup(0,\infty)

3.3 Soru c) g(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük ve en küçük değerler?

  • En küçük değer (min): 0’dır ve x=0 noktasında gerçekleşir.
  • En büyük değer (max): Fonksiyonun üst sınırı yoktur; g(x)\to\infty olarak büyüyebilir. Dolayısıyla üst sınır yoktur (–∞ < g(x) < ∞, ama görüntüde üst sınır ∞).

3.4 Soru d) x artarken g(x) nasıl değişir?

  • x<0 aralığında bağımsız değişken artarken (örneğin –5 → –1), g(x)=–x değeri azalarak (–(–5)=5 → –(–1)=1) küçülür.
  • x>0 aralığında bağımsız değişken artarken (örneğin 1 → 5), g(x)=x değeri artarak (1 → 5) büyür.

Sonuç olarak, g fonksiyonu

  • (-\infty,0] üzerinde azalan,
  • [0,\infty) üzerinde artan bir fonksiyondur.

3.5 Soru e) İki farklı x değeri için g(x) değerleri birbirinden farklı mıdır?

  • Genel olarak hayır, örneğin x=3 ve x=–3 için g(3)=3 ve g(–3)=|–3|=3 olur. Bu durumda iki farklı bağımsız değişken aynı bağımlı değişkene karşılık gelir.
  • Ancak sadece x≥0 alındığında (domain’i sınırlandırırsak) fonksiyon birebir (injective) olur.

Sonuç: Tüm gerçek sayılar kümesinde g(x) tek–tektir diye bir kural yoktur. x ve –x çifti aynı değeri sağlar.

4. Özet Tablosu

Soru No İncelenen Aralık ve Durum Sonuç
a) g(x)=0 x=0
b1) g(x)<0 Hiçbir x için (∅)
b2) g(x)>0 x∈$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$
c) Min/Max değer Min=0 (x=0); Max yok (⇒∞)
d) x artarken $x<0$’da g azalır; $x>0$’da g artar
e) f(3)=f(–3) örneği Aynı değer; genel domain‐de birebir değil

Özet:

  • g(x)=|x| fonksiyonu, orijinden V-şeklinde bir grafiğe sahiptir.
  • Sıfır dışında hep pozitif, hiçbir zaman negatif değer almaz.
  • Minimum değeri 0’dır; maksimum sınırsızdır.
  • Soldan sağa bir tarafı azalan, diğer tarafı artan davranıştır.
  • Genel domain’de farklı x değerleri aynı y değerini verebilir (örn. x ve −x).
  • Pozitif domain’e (x≥0) sınırlarsak birebir fonksiyon olur.

@leyla_Dogan1