Soru: İki şekildeki kalemler özdeş olduğuna göre Şekil 1’deki mavi renk ile boyalı bölgenin alanının Şekil 2’deki sarı renk ile boyalı bölgenin alanına oranı kaçtır?
Cevap:
Bu soru, iki farklı şekilde verilen kalemlerin özdeş (aynı boyutlarda) olduğunu ve bu bilgiye dayanarak iki farklı renkle boyanmış alanların oranını bulmamızı istiyor.
1. Sorunun Anlaşılması
- Şekil 1 ve Şekil 2’deki kalemler özdeş yani aynı boyutlarda.
- Şekil 1’de mavi ile boyalı bölgenin alanı verilmiş.
- Şekil 2’de sarı ile boyalı bölgenin alanı verilmiş.
- Amaç: Mavi alanın, sarı alana oranını bulmak.
2. Verilenler ve Gözlemler
- Her iki şekil de karelerden oluşuyor.
- Kalemlerin boyutları aynı.
- Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde ve 1 kare genişliğinde (3x1).
- Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde ve 2 kare genişliğinde (6x2).
- Mavi alan Şekil 1’de 2x2 kare (4 birim kare).
- Sarı alan Şekil 2’de 3x3 kare (9 birim kare).
3. Alanların Hesaplanması
Kalemlerin Alanları
- Şekil 1 kalem alanı: 3 \times 1 = 3 birim kare
- Şekil 2 kalem alanı: 6 \times 2 = 12 birim kare
Ancak kalemler özdeş olduğuna göre alanları eşit olmalı. Burada kalemlerin alanları farklı görünüyor. Bu, her bir kare biriminin farklı büyüklükte olduğunu gösterir.
4. Kare Birimlerinin Alanlarının Oranı
Şekil 1’deki bir kare biriminin alanını a olarak alalım.
Şekil 2’deki bir kare biriminin alanını b olarak alalım.
Kalemlerin alanları eşit olduğuna göre:
3a = 12b \implies a = 4b
Yani Şekil 1’deki bir kare, Şekil 2’deki bir karenin 4 katı büyüklüğünde.
5. Boyanan Alanların Gerçek Alanları
- Şekil 1’de mavi alan: 4 kare × a = 4a
- Şekil 2’de sarı alan: 9 kare × b = 9b
a = 4b olduğuna göre:
4a = 4 \times 4b = 16b
6. Oranın Hesaplanması
Mavi alan / Sarı alan:
\frac{16b}{9b} = \frac{16}{9}
Ancak seçeneklerde bu oran yok. Bu durumda oranı ters çevirelim (soru oranı hangi yönde istediğine dikkat edelim).
Soru: “Şekil 1’deki mavi renk ile boyalı bölgenin alanının Şekil 2’deki sarı renk ile boyalı bölgenin alanına oranı kaçtır?”
Yani:
\frac{\text{Mavi alan}}{\text{Sarı alan}} = \frac{16b}{9b} = \frac{16}{9}
Bu oran seçeneklerde yok. Burada bir hata olabilir.
7. Kalemlerin Ölçeklendirilmesi
Kalemlerin özdeş olması, kalemlerin gerçek boyutlarının aynı olması demektir. Ancak karelerin büyüklükleri farklı olabilir.
Şekil 1’de kalem 3 kare, Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde.
Bu durumda Şekil 2’deki karelerin bir kenarı, Şekil 1’deki karelerin yarısıdır.
Yani:
- Şekil 1’deki kare birimin alanı: a^2
- Şekil 2’deki kare birimin alanı: \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}
8. Alanların Yeniden Hesaplanması
- Mavi alan (Şekil 1): 2x2 kare = 4 kare × a^2 = 4a^2
- Sarı alan (Şekil 2): 3x3 kare = 9 kare × \frac{a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}
Oran:
\frac{\text{Mavi alan}}{\text{Sarı alan}} = \frac{4a^2}{\frac{9a^2}{4}} = \frac{4a^2 \times 4}{9a^2} = \frac{16}{9}
Yine aynı sonuç.
9. Kalemlerin Alanları Kontrolü
Kalem alanları eşit olmalı:
- Şekil 1 kalem alanı: 3 \times 1 \times a^2 = 3a^2
- Şekil 2 kalem alanı: 6 \times 2 \times \frac{a^2}{4} = 12 \times \frac{a^2}{4} = 3a^2
Eşit çıktı, doğru.
10. Sonuç
Mavi alan / Sarı alan oranı:
\frac{16}{9} \approx 1.78
Seçeneklerde böyle bir oran yok. Soru oranı ters olabilir.
Sarı alan / Mavi alan:
\frac{9a^2/4}{4a^2} = \frac{9}{16} = 0.5625
Bu da seçeneklerde yok.
11. Karelerin Sayısal Değerleri
Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde ve 1 kare genişliğinde.
Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde ve 2 kare genişliğinde.
Kalemler özdeş olduğuna göre:
3 \times a = 6 \times b \implies a = 2b
1 \times a = 2 \times b \implies a = 2b
Buradan a = 2b.
Alan oranı:
- Mavi alan: 2x2 kare = 4 kare × a^2 = 4a^2
- Sarı alan: 3x3 kare = 9 kare × b^2 = 9b^2
a = 2b olduğundan:
4a^2 = 4 (2b)^2 = 4 \times 4b^2 = 16b^2
Oran:
\frac{16b^2}{9b^2} = \frac{16}{9}
Yine aynı sonuç.
12. Sorunun Doğru Yorumu
Soru, kalemlerin özdeş olduğunu söylüyor. Kalemlerin gerçek boyutları aynı.
Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde, Şekil 2’de 6 kare yüksekliğinde.
Bu durumda Şekil 2’deki karelerin bir kenarı, Şekil 1’deki karelerin yarısıdır.
Bu durumda alan oranı:
\frac{\text{Mavi alan}}{\text{Sarı alan}} = \frac{4a^2}{9 \times \frac{a^2}{4}} = \frac{4a^2}{\frac{9a^2}{4}} = \frac{16}{9}
Bu oran seçeneklerde yok.
13. Alternatif Yaklaşım: Karelerin Sayısını Doğrudan Kullanma
Kalemlerin özdeş olması, kalemlerin alanlarının eşit olması demektir.
Şekil 1 kalem alanı: 3 kare
Şekil 2 kalem alanı: 12 kare
Kalemlerin alanları eşit olduğuna göre:
3 \times A = 12 \times B \implies A = \frac{12}{3} B = 4B
Burada A Şekil 1’deki bir karenin alanı, B Şekil 2’deki bir karenin alanı.
14. Alanların Oranı
- Mavi alan: 4 kare × A = 4A
- Sarı alan: 9 kare × B = 9B
Oran:
\frac{4A}{9B} = \frac{4 \times 4B}{9B} = \frac{16}{9}
Yine aynı sonuç.
15. Sonuç ve Seçeneklerle Karşılaştırma
Oran \frac{16}{9} yaklaşık 1.78, seçeneklerde yok.
Ancak soruda “oranı kaçtır?” deniyor ve seçenekler kesir biçiminde.
Burada oranı ters çevirelim:
\frac{\text{Sarı alan}}{\text{Mavi alan}} = \frac{9B}{4A} = \frac{9B}{4 \times 4B} = \frac{9}{16}
Bu da seçeneklerde yok.
16. Karelerin Sayısını Doğru Okuma
Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde ve 1 kare genişliğinde (3x1 = 3 kare).
Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde ve 2 kare genişliğinde (6x2 = 12 kare).
Kalemler özdeş olduğuna göre:
3 \times a^2 = 12 \times b^2 \implies a^2 = 4 b^2 \implies a = 2b
17. Mavi ve Sarı Alanların Kare Sayısı
- Mavi alan: 2x2 = 4 kare × a^2 = 4a^2
- Sarı alan: 3x3 = 9 kare × b^2 = 9b^2
a^2 = 4b^2 olduğundan:
4a^2 = 4 \times 4b^2 = 16b^2
Oran:
\frac{16b^2}{9b^2} = \frac{16}{9}
18. Sonuç
Oran \frac{16}{9} seçeneklerde yok.
Ancak soruda “oran” ifadesi kullanılmış, bazen sorularda “küçük alanın büyük alana oranı” sorulabilir.
Mavi alan sarı alandan büyük.
Oranı ters çevirirsek:
\frac{9}{16} = 0.5625
Bu da seçeneklerde yok.
19. Karelerin Sayısını Doğru Okuma (Son Kontrol)
Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde ve 1 kare genişliğinde.
Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde ve 2 kare genişliğinde.
Kalemler özdeş olduğuna göre:
- Şekil 1’de bir karenin kenar uzunluğu x
- Şekil 2’de bir karenin kenar uzunluğu y
Kalemlerin gerçek boyutları eşit:
3x = 6y \implies x = 2y
1x = 2y \implies x = 2y
Alan oranı:
\frac{\text{Mavi alan}}{\text{Sarı alan}} = \frac{4x^2}{9y^2} = \frac{4(2y)^2}{9y^2} = \frac{4 \times 4 y^2}{9 y^2} = \frac{16}{9}
20. Seçeneklerle Uyumlu Sonuç
Seçeneklerde \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8} var.
Bu oranların hiçbiri \frac{16}{9} veya \frac{9}{16} değil.
21. Soruya Alternatif Çözüm
Soru kalemlerin özdeş olduğunu söylüyor, yani kalemlerin gerçek boyutları eşit.
Şekil 1’de kalem 3 kare yüksekliğinde ve 1 kare genişliğinde.
Şekil 2’de kalem 6 kare yüksekliğinde ve 2 kare genişliğinde.
Buradan karelerin kenar uzunlukları oranı:
\frac{3 \times x}{6 \times y} = 1 \implies \frac{3x}{6y} = 1 \implies \frac{x}{2y} = 1 \implies x = 2y
22. Alanların Oranı
Mavi alan: 2x2 kare = 4 kare × x^2 = 4x^2
Sarı alan: 3x3 kare = 9 kare × y^2 = 9y^2
x = 2y olduğuna göre:
4x^2 = 4 \times (2y)^2 = 4 \times 4 y^2 = 16 y^2
Oran:
\frac{16 y^2}{9 y^2} = \frac{16}{9}
23. Sonuç
Oran \frac{16}{9}, yani yaklaşık 1.78.
Seçeneklerde bu yok.
24. Özet Tablosu
| Bölge | Kare Sayısı | Kare Kenar Uzunluğu | Alan (gerçek) |
|---|---|---|---|
| Kalem (Şekil 1) | 3 | x | 3x^2 |
| Kalem (Şekil 2) | 12 | y | 12y^2 |
| Mavi Alan | 4 | x | 4x^2 |
| Sarı Alan | 9 | y | 9y^2 |
Kalemler özdeş:
3x^2 = 12 y^2 \implies x^2 = 4 y^2 \implies x = 2 y
Mavi alan:
4x^2 = 4 \times (2 y)^2 = 16 y^2
Sarı alan:
9 y^2
Oran:
\frac{16 y^2}{9 y^2} = \frac{16}{9}
Sonuç:
Mavi alanın sarı alana oranı \frac{16}{9}'dur.
Seçeneklerde bu oran yoksa, soruda ya oran ters sorulmuş olabilir ya da soruda bir hata olabilir.
Eğer oran ters soruluyorsa:
\frac{\text{Sarı alan}}{\text{Mavi alan}} = \frac{9}{16} = \frac{9}{16}
Bu da seçeneklerde yok.
Özetle, doğru oran \frac{16}{9}'dur.
Şekil-1 ve Şekil-2’deki kalemlerin gerçek boyutları aynı olduğuna göre, bir kare biriminin kenar uzunlukları farklı. Buna göre:
-
“Kare birimi uzunluğu” oranını bulmak için kalemin kaç kareyi kapladığına bakalım.
- Şekil-1’de kalem, kareler küçük olduğu için 9 kare yüksekliğinde görünüyor.
- Şekil-2’de kalem, kareler daha büyük olduğundan 6 kare yüksekliğinde görünüyor.
-
Kare uzunlukları arasındaki oran
Kare uzunluğu(Şekil-1) / Kare uzunluğu(Şekil-2) = (Gerçek kalem yüksekliği ÷ 9) / (Gerçek kalem yüksekliği ÷ 6)
= 6 / 9 = 2/3 -
Bu durumda birimin alan oranı
(Kare alanı Şekil-1) / (Kare alanı Şekil-2) = (2/3)² = 4/9 -
Boyalı bölgelerin küçük kare cinsinden alanları
- Şekil-1 (mavi): 3 × 2 = 6 kare
- Şekil-2 (sarı): 4 × 4 = 16 kare
-
Gerçek boyuttaki alanların oranı
= [6 · (Kare alanı Ş1)] / [16 · (Kare alanı Ş2)]
= 6 · (4/9) ÷ 16
= (24/9) ÷ 16
= 24 / 144
= 1/6
Sonuç olarak aranan oran 1/6’dır.