Şeklinde tanımlı rasyonel fonksiyon veriliyor

YKS TYT
1

f(ox) =- +12
x-12
şeklinde tanımlı rasyonel fonksiyon veriliyor.
Buna göre,
Tanım kümesi R-(3) tür.
II. Fonksiyonun sifirıdr.
Ill. (-o0, 3) araliğında fonksiyon artandır.
yargilarından hangileri doğrudur?
A) Yalnızl
B) Yalnız I|
C)I ve ll
D) ll ve lI
E) I, II ve lIl

Soru Görseli
Soru Görseli1024×722 124 KB

2

Şeklinde Tanımlı Rasyonel Fonksiyon Sorusu Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KAVRAMLAR:

  1. Tanım Kümesi: Rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılır.
  2. Fonksiyonun Sıfırı: Fonksiyonu sıfıra eşitleyen (f(x) = 0) x değeridir.
  3. Artan/Azalanlık: Fonksiyonun türevi alınarak veya grafik yorumuyla artanlık kontrol edilir. f'(x) > 0 ise fonksiyon artandır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci Yargının Analizi (Tanım Kümesi)
Verilen fonksiyon: f(x) = -\frac{2}{x-3} + 12.
Rasyonel bir ifadede payda sıfır olamaz.
x - 3 = 0 \implies x = 3.
Bu durumda fonksiyon x=3 için tanımsızdır.
Tanım kümesi: \mathbb{R} - \{3\} olur.
I. yargı DOĞRUDUR.

Adım 2 — İkinci Yargının Analizi (Fonksiyonun Sıfırı)
Fonksiyonun sıfırını bulmak için f(x) = 0 denklemini çözelim:

-\frac{2}{x-3} + 12 = 0
\frac{2}{x-3} = 12
2 = 12(x-3)
2 = 12x - 36
38 = 12x \implies x = \frac{38}{12} = \frac{19}{6}

II. yargı DOĞRUDUR.

Adım 3 — Üçüncü Yargının Analizi (Artanlık Kontrolü)
Fonksiyonun artan olup olmadığını anlamak için türevini alalım:
f(x) = -2(x-3)^{-1} + 12
f'(x) = (-2) \cdot (-1) \cdot (x-3)^{-2} \cdot (1)
f'(x) = \frac{2}{(x-3)^2}
(x-3)^2 ifadesi x \neq 3 olduğu sürece daima pozitiftir. Bu durumda f'(x) daima pozitiftir (f'(x) > 0).
Türevi pozitif olan fonksiyon tanımlı olduğu aralıklarda artandır. Dolayısıyla (-\infty, 3) aralığında fonksiyon artandır.
III. yargı DOĞRUDUR.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Rasyonel Fonksiyonlarda Tanım

  • Tanım: Paydayı sıfır yapan değerler “kritik” değerlerdir ve fonksiyon bu noktalarda süreksizdir.
  • Bu problemde: Payda x-3 olduğu için kritik nokta x=3’tür.

2. Artan Fonksiyon

  • Tanım: Bir aralıktaki her x_1 < x_2 için f(x_1) < f(x_2) oluyorsa fonksiyon o aralıkta artandır.
  • Bu problemde: Fonksiyonun grafiği incelendiğinde veya türevine bakıldığında değerlerin sürekli arttığı görülür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Fonksiyonun Sıfırını Yanlış Hesaplamak

  • Yanlış: Sadece payı sıfıra eşitlemeye çalışmak (Eğer ifade tek payda altında değilse).
  • Doğru: Tüm ifadeyi (-\frac{2}{x-3} + 12) sıfıra eşitleyip payda eşitlemek veya sabit terimi karşıya atmak.
  • Neden: Sabit terim (+12) kökün değerini tamamen değiştirir.

Bu çözümde fonksiyonun tüm özelliklerini inceledik. Benzer rasyonel fonksiyon grafiklerini yorumlamamı ister misin?