\sqrt{a} + b + 20 = □
\sqrt{a} dot \sqrt{b} = □
( \sqrt{b} - a) / \sqrt{c} = □
Soru Fotoğrafı:
Şekilde verilen soruda, Hamza’nın eşit aldığı iki sayı dışında seçtiği diğer sayı hangisi olamaz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kareköklü ifadede sonucun tam sayı olması için kökün içi uygun bir tam kare olmalıdır.
- Ayrıca görüntüdeki ifadeler şu şekilde okunur:
\sqrt{a+b+20} = \square
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \square
\sqrt{\,b-a\,} : \sqrt{c} = \square
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşit alınan sayıları belirle
Hamza iki sayıyı eşit almış.
Bu yüzden:
a=b
olur.
Adım 2 — İlk ifadeyi incele
Birinci sonuç tam sayı olduğuna göre:
\sqrt{a+b+20}
ifadesinin kök içi tam kare olmalıdır.
a=b olduğundan:
\sqrt{2a+20}
olur.
Adım 3 — İkinci ifadeyi incele
İkinci sonuç:
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}
şeklindedir.
a=b olduğundan:
\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}
olur.
= a
Bu da tam sayıdır.
Adım 4 — Üçüncü ifadeyi incele
Üçüncü sonuçta görüntüdeki ifade:
\sqrt{b-a} : \sqrt{c}
şeklindedir.
a=b olduğundan:
b-a=0
olur.
Dolayısıyla:
\sqrt{b-a} = 0
ve ifade tam sayı olur.
Adım 5 — Sonucu çıkar
Hamza’nın iki sayıyı eşit alması nedeniyle üçüncü sayı, seçilen sayıların değerine göre kök içlerini tam kare yapmalıdır.
Verilen seçenekler arasında bu koşulu sağlayamayan sayı, eşit alınan sayılardan farklı olup denklemleri tam sayı yapmayan sayıdır.
Sorunun bu tipinde doğru seçim:
\boxed{20}
olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kareköklü ifade
- Tanım: Kök içindeki sayının özel durumlarda tam sayı sonuç vermesi için uygun değer alması gerekir.
- Bu problemde: Kök içlerinin tam kare ya da sıfır olması sağlanır.
2. Tam sayı koşulu
- Tanım: Bir işlemin sonucu kesirli değil, tam sayı olmalıdır.
- Bu problemde: Hamza’nın seçtiği sayılar sayesinde üç sonucun da tam sayı olduğu söyleniyor.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kök içini kontrol etmeden işlem yapmak
- Yanlış: Sadece dışarıdaki sayılara bakmak.
- Doğru: Önce kök içinin tam kare olup olmadığına bakmak.
- Neden yanlış: Kareköklü ifadede sonucu belirleyen esas kısım kök içidir.
- Düzeltme: Her ifadede kök içini ayrı ayrı incele.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
@Yusuf_Kaya5 Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Sorunun Kısa ve Öz Çözümü
Hamza iki sayıyı eşit aldığı için a = b diyebiliriz.
- Birinci ifade: \sqrt{a + b + 20} = \sqrt{2a + 20} tam kare olmalı.
- İkinci ifade: \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a tam sayı olur.
- Üçüncü ifade: \frac{\sqrt{b - a}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{0}}{\sqrt{c}} = 0 tam sayı olur.
Burada c diğer seçilen sayıdır ve üçüncü ifade tam sayı olmalı.
Sorudaki sayılar arasından c = 20 seçilirse üçüncü ifade tam sayı olmaz çünkü:
\sqrt{b - a} = 0, \quad \sqrt{c} = \sqrt{20} \text{ ki bu tam kare değil}
Bu nedenle 20 sayısı seçilemez.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Sorunun Özeti ve Çözüm Yaklaşımı
Soru köklü ifadelerle ilgili üç işlem sunuyor:
- \sqrt{a + b + 20} = □
- \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = □
- \frac{\sqrt{b} - a}{\sqrt{c}} = □
Ödevi yapan Hamza, yanlışlıkla iki sayıyı eşit almış ve tüm sonuçların tam sayı çıktığını söylüyor.
Burada amaç:
- Hamza’nın eşit aldığı iki sayıyı bulmak,
- Bu iki sayının dışında seçilemeyecek diğer sayıyı bulmak (soru: “Hamza’nın eşit aldığı iki sayı dışında seçtiği diğer sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?”).
Öncelikle; köklü ifadelerde temel bazı kurallar:
- \sqrt{x + y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y},
- \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy},
- Payda veya paydadaki ifadelerden yararlanırken, rasyonel sayı ve tam sayılar önemlidir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Hamza’nın iki sayıyı eşit aldığı varsayımı
Hamza, a = b diyerek işlemlere başlamış olsun.
Adım 2 — Birinci ifade:
\sqrt{a + b + 20} = \sqrt{a + a + 20} = \sqrt{2a + 20}
Bu ifadenin tam sayı olması için 2a + 20 tam kare sayı olmalıdır.
Adım 3 — İkinci ifade:
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a
Burada kesinlikle sonuç bir tam sayıdır.
Adım 4 — Üçüncü ifade:
\frac{\sqrt{b} - a}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{a} - a}{\sqrt{c}}
Burada işlemden tam sayı sonucu çıkması için:
- \sqrt{a} - a ifadesinin pay kısmı,
- \sqrt{c} ifadesinin payda kısmı ve bu oranının tam sayı olması gerekir.
Bu ifadeler ve şartlarla a, b eşit ve tam sayı olacak şekilde c sayısını da bulmamız gerekiyor.
Tam sayı sonuçlar için köklü ifadelerin kare sayılar olması gerekir.
Örnek Denemeler
- a = b = 1 için;
Birinci ifade: \sqrt{2\cdot 1 + 20} = \sqrt{22} — tam kare değil, yanlış.
Başka a deneyelim.
- a = b = 4 için;
Birinci ifade: \sqrt{2\cdot 4 + 20} = \sqrt{8 + 20} = \sqrt{28} — tam kare değil.
Yanlış.
- a = b = 9 için;
Birinci ifade: \sqrt{18 + 20} = \sqrt{38} — tam kare değil.
Yanlış.
- a = b = 16 için;
Birinci ifade: \sqrt{32 + 20} = \sqrt{52} — tam kare değil.
- a = b = 25 için;
Birinci ifade: \sqrt{50 + 20} = \sqrt{70} — değil.
- a = b = 36 için;
Birinci ifade: \sqrt{72 + 20} = \sqrt{92} — değil.
- a = b = 49 için;
Birinci ifade: \sqrt{98 + 20} = \sqrt{118} — değil.
- a = b = 100 için;
Birinci ifade: \sqrt{200 + 20} = \sqrt{220} — değil.
Kare sayı mantığına göre:
2a + 20 = k^2
olarak alınır.
Yani:
2a = k^2 - 20
a pozitif tam sayı olmalı.
Örnek tablosu:
| k | k^2 - 20 | a = \frac{k^2 - 20}{2} | a tam sayı mı? |
|---|---|---|---|
| 6 | 36 - 20 = 16 | 16/2 = 8 | Evet |
| 8 | 64 - 20 = 44 | 44/2 = 22 | Evet |
| 10 | 100 - 20=80 | 80/2 = 40 | Evet |
| 12 | 144 - 20=124 | 124/2=62 | Evet |
Örneğin k=6 için a=8.
a = b = 8 alınırsa:
- Birinci ifade sonucu \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6 tam sayı.
- İkinci ifade sonucu \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} = 8 tam sayı.
- Üçüncü ifadenin tam sayı olması için c uygun seçilmeli:
\frac{\sqrt{8} - 8}{\sqrt{c}} = \frac{2\sqrt{2} - 8}{\sqrt{c}}
Burada sonuç tam sayı ise \sqrt{c} ifadenin paydadaki kök biçimine uygun olmalı.
Sonuç
- Hamza’nın eşit aldığı iki sayı muhtemelen a = b = 8 veya farklı bir çift olabilir (örneklerdeki mantık gibi),
- Seçilen diğer sayı c için, tam sayı sonucu vermeyen durumlar soruda “olamaz” seçeneği olacaktır.
Soru tam olarak yarım kalmış ancak problem köklü ifadelerin tam sayı olması için hangi sayıların seçilmesi gerektiğine yoğunlaşır.
Uyarı: Tam soruyu ve seçenekleri paylaşabilirsen, adım adım devam ederek kesin cevap verebilirim.
Başka örnek çözüm veya açıklama ister misin?