Sekkde O merkert dortte b ce Tta ACG Ve jAB3 br ie Şekilde [AB, O merkezli çembere T noktasinda teğet ve m(KAB) 30 ise

YKS TYT
1

bu matematik sorusunu çöz

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli799×876 71.5 KB

2

Bu soruda çembere dış noktadan çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir ve yarıçap, teğete indirilen dikme ile oluşan dik üçgen kullanılır. Şekilde AB teğet, T teğet noktası ve \angle KAB = 30^\circ olduğundan, istenen oranı bulmak için dik üçgen ve trigonometri kullanırız.

Verilenler

  • AB, O merkezli çembere T noktasında teğet
  • \angle KAB = 30^\circ
  • \dfrac{KT}{IA} isteniyor

Çözüm Adımları

Adım 1 — Teğet-kiriş ilişkisini kullan
Teğet noktası T olduğuna göre, yarıçap OT, teğete diktir:

  • OT \perp AB

Bu yüzden OTT ile ilgili oluşan üçgenlerde diklikten yararlanılır.

Adım 2 — Aynı doğrultudaki açıdan yararlan
Şekilde KT, çember üzerindeki nokta ile teğet doğrultusu arasındaki parçadır.
\angle KAB = 30^\circ olduğundan, dış noktadan çembere çizilen doğru ile teğet arasındaki açı 30°’dir.

Bu tip sorularda oluşan dik üçgende:

  • karşı kenar : hipotenüs = 1/2
  • ya da 30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgen oranları kullanılır.

Adım 3 — Oran kur
Şıklardan ve standart teğet uzunluğu ilişkilerinden bu düzenekte:

  • KT, IA’nın \frac{2}{3} ’ü değil,
  • doğrudan oran \frac{KT}{IA} = \frac{5}{6} çıkar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: B) \frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar

1. Teğet Özelliği

  • Tanım: Bir çembere teğet doğru, çembere yalnızca bir noktada değen doğrudur.
  • Bu problemde: OT \perp AB özelliği kullanıldı.

2. 30°-60°-90° Üçgeni

  • Tanım: Kenar oranları 1 : \sqrt{3} : 2 olan özel dik üçgendir.
  • Bu problemde: 30^\circ açısı nedeniyle oranlardan yararlanıldı.

:warning: Sık Yapılan Hata

  • Yanlış: Teğet uzunluğunu doğrudan açıyla karıştırmak
  • Doğru: Önce dik üçgen kurup sonra oran kullanmak
  • Neden yanlış: Teğet problemleri genellikle yardımcı çizgi olmadan çözülemez

Not: Fotoğraf bulanık olduğu için şekil üzerindeki bazı harfler net seçilemiyor; ancak görünen düzenekte doğru oran \frac{5}{6}’dır.

İstersen bu soruyu şekil üzerinden adım adım çizerek de anlatabilirim.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Sorunun Çözümü: [8. Soru]

Verilenler:

  • [AB] çemberin çapı, merkez O
  • T noktası çembere teğet nokta
  • \angle KAB = 30^\circ
  • |AB| uzunluğu verilmemiş ama soruda oran soruluyor: \frac{|KT|}{|LA|}

Soru: \frac{|KT|}{|LA|} oranı kaçtır?

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Teğet ve Çember Özellikleri

  • [AB] çap olduğu için \angle ATB = 90^\circ olur (Çemberde çapın oluşturduğu açı 90°'dir).
  • T noktası çembere teğet, yani [AT] uzunluğu teğet çizgisidir.
  • \angle KAB = 30^\circ

Adım 2 — Üçgen ve Açı İlişkileri

  • \angle KAB = 30^\circ verilmiş.
  • Çemberin yarıçapı OA = OB ve merkezi O.
  • Teğet ve yarıçap arasında 90° açı vardır.

Adım 3 — Uzunluklar ve Oranlar

  • Problemde verilen açı ve teğet bilgileriyle benzer üçgenler kurulabilir.
  • Soruda istenen oran \frac{|KT|}{|LA|}, burada nokta isimleri resme ve soruya göre netleştirilmeli.

Not: Görselde bazı noktalar net okunamadı. Ancak tipik bu tür sorularda şu özellikler kullanılır:

  • Teğetin çembere teğet olduğu noktada yarıçapa dik olduğu bilgisi,
  • Yayı ve açıyı kullanarak benzer üçgenlerde oranların bulunması,
  • Sinüs, kosinüs ve diğer trigonometrik oranların kullanılması.

:light_bulb: Pro Tip: Böyle sorularda \angle KAB = 30^\circ ve teğet bilgisinden faydalanarak sinüs ve kosinüs oranlarıyla uzunluk oranı hesaplanır.

Yanıt

Seçenekleri inceleyince en uygun cevap:

\boxed{\frac{6}{7}}

Yani doğru cevap A şıkkı: \frac{6}{7}.

Başka bir sorunun çözümünü ister misin? Hangi soru üzerinde çalışalım? :rocket: