2-9
11. Betül defterine periyodik olarak,
ADOOA
şekillerini her satırında 7 şekil bulunan 20 satır biçiminde
yazmiştır.
Buna göre bu 20 satırın kaç tanesi şekli ile
bitmiştir?
A) 3
B)4
A 2
Sınav Kodu (T1226)
C) 5
D)6)
E)7
Periyodik Şekil Dizisinde Satır Sonu Bulma Problemi
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Periyot (Tekrar Eden Örüntü): Bir örüntünün periyodu T ise, k. sıradaki eleman k \pmod T kalanına göre belirlenir.
- Satır Sonu Pozisyonu: n. satırın sonundaki elemanın genel sırası k = n \times (\text{satırdaki eleman sayısı}) formülüyle bulunur.
- Modüler Aritmetik Denkliği: a \cdot n \equiv b \pmod m
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Örüntünün Periyodunu ve Şekil Sırasını Belirleme
Örüntüdeki şekiller sırasıyla:
- Şekil: \Delta (Üçgen)
- Şekil: \square (Kare)
- Şekil: \bigcirc (Daire)
- Şekil: \bigcirc (Daire)
- Şekil: * (Yıldız)
Örüntü her 5 şekilde bir kendini tekrar etmektedir (Periyot = 5).
Buna göre bir elemanın \Delta (üçgen) olması için sıra numarasının 5 ile bölümünden kalanın 1 olması gerekir:
\text{Sıra no} \equiv 1 \pmod 5
Adım 2 — Satır Sonu Elemanlarının Sıra Numarasını Modelleme
Her satırda 7 şekil bulunmaktadır.
-
- satırın son elemanı: 7 \times 1 = 7. şekil
-
- satırın son elemanı: 7 \times 2 = 14. şekil
- n. satırın son elemanı: 7n. şekil (1 \le n \le 20)
Adım 3 — Denklemi Çözme
n. satırın \Delta (üçgen) ile bitmesi için:
7n \equiv 1 \pmod 5
7’nin 5 ile bölümünden kalan 2 olduğundan:
2n \equiv 1 \pmod 5
Her iki tarafı 3 ile çarparsak (2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod 5):
6n \equiv 3 \pmod 5
n \equiv 3 \pmod 5
Bu durum, satır numarası (n) 5’e bölündüğünde 3 kalanını veren satırlarda gerçekleşir.
Adım 4 — Uygun Satır Numaralarını Bulma
1 \le n \le 20 aralığında 5’e bölündüğünde 3 kalanını veren n değerleri:
- n = 3 (3. satır sonu: 7 \times 3 = 21 \rightarrow 21 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 8 (8. satır sonu: 7 \times 8 = 56 \rightarrow 56 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 13 (13. satır sonu: 7 \times 13 = 91 \rightarrow 91 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 18 (18. satır sonu: 7 \times 18 = 126 \rightarrow 126 \equiv 1 \pmod 5)
Toplamda 4 satır \Delta şekli ile bitmiştir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B seçeneğidir (4 adet)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Modüler Aritmetik (Periyodik Problemler)
- Tanım: Belli aralıklarla kendini tekrar eden durumların matematiksel olarak incelenmesidir.
- Bu problemde: 5’li periyot ile her satırda 7’şerli ilerleyen dizilimin kesişim noktaları 7n \equiv 1 \pmod 5 bağıntısıyla tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şekilleri Tek Tek Çizerek Saymak
- Yanlış: 20 satırın tümünü çizip saymaya çalışmak hem çok zaman kaybettirir hem de işlem hatası riskini artırır.
- Doğru: Satır sonlarının kuralını 7n olarak belirleyip modüler aritmetikle periyoda göre kalanları incelemek.
- Neden yanlış: TYT gibi zamanla yarışılan sınavlarda uzun yöntemler ciddi süre kaybına yol açar.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir periyodik problem daha çözmemi ister misin?