- Betül defterine periyodik olarak, a & e a
ADOOAO
OOADO0
*A1
şekillerini her satırinda 7 şekil bulunan 20 satır biçiminde
yazmıştır.
Buna göre bu 20 satırın kaç tanesi A şekli ile
bitmiştir?
A)3
C) 5
0Lad
ad a
Her Satırında 7 Şekil Bulunan 20 Satırlık Örüntü Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Periyot Kuralı: Tekrar eden bir dizide k. elemanın türünü bulmak için k \pmod T (kalan) işleminden yararlanılır (T = \text{Periyot uzunluğu}).
- Satır Sonu Pozisyon Formülü: n. satırın sonundaki şeklin toplam sırası:P_n = 7 \times n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil Örüntüsünün Periyodunu Belirleme
Verilen dizideki şekiller sırasıyla:
- \Delta (Üçgen)
- \square (Kare)
- \varhexagon (Altıgen)
- \bigcirc (Daire)
- * (Yıldız)
Bu 5 şekil aynı sırayla sürekli tekrar etmektedir. Dolayısıyla örüntünün periyodu 5’tir.
- Sıra numarası 5’e bölündüğünde kalan 1 ise o şekil \Delta (Üçgen) olur.
Adım 2 — Satır Sonu Pozisyonlarını Modüler Aritmetik ile İnceleme
Her satırda 7 şekil olduğundan, n. satırın son şeklinin sıra numarası 7n’dir.
Bu son şeklin \Delta (Üçgen) olması için:
7n \equiv 1 \pmod 5
7 \equiv 2 \pmod 5 olduğuna göre:
2n \equiv 1 \pmod 5
Her iki tarafı 3 ile çarparsak (2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod 5):
n \equiv 3 \pmod 5
Adım 3 — Şartı Sağlayan Satır Sayısını Bulma
Toplam 20 satır (n = 1, 2, 3, \dots, 20) bulunmaktadır.
n \equiv 3 \pmod 5 şartını sağlayan satır numaraları:
- n = 3 (21. şekil \rightarrow 21 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 8 (56. şekil \rightarrow 56 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 13 (91. şekil \rightarrow 91 \equiv 1 \pmod 5)
- n = 18 (126. şekil \rightarrow 126 \equiv 1 \pmod 5)
Toplamda 4 satır \Delta (Üçgen) şekli ile bitmiştir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Periyodik Tekrar Eden Diziler
- Tanım: Belirli bir kurala göre aynı elemanların düzenli aralıklarla baştan tekrarlandığı dizilerdir.
- Bu problemde: 5 farklı sembolden oluşan dizi her 5 adımda bir başa dönmüştür.
2. Modüler Aritmetik (Kalan Bulma)
- Tanım: Bir sayının başka bir sayıya bölümünden elde edilen kalana göre işlem yapma yöntemidir.
- Bu problemde: 7n sayısının 5’e bölümünden kalanın 1 olması durumu incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Satır Sayısını Periyoda Doğrudan Bölmek
- Yanlış: 20 \div 5 = 4 diyerek doğrudan satır sayısına göre ezbere işlem yapmak veya 20 \div 7 yapmak.
- Doğru: Her satır sonunun toplam sırasını (7n) belirleyip periyoda (5) göre modunu alarak incelemek.
- Neden yanlış: Satırdaki eleman sayısı (7) ile periyot (5) aralarında asal olduğundan, her satır farklı bir şekille biter ve döngü her 5 satırda bir tekrar eder.
Bu tür periyodik problemlerle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?