Şekillerini her satırında 7 şekil bulunan 20 satır biçiminde Buna göre bu 20 satirıin kaç tanesi şekli ile

YKS TYT
1
  1. Betül defterine periyodik olarak,
    SDO0AD)
    O0    AD00
    *AD.
    şekillerini her satırında 7 şekil bulunan 20 satır biçiminde
    yazmıştır.
    Buna göre bu 20 satirıin kaç tanesi
    bitmiştir?
    şekli ile
    A) 3
    B) 4
    C)5
    D) 6
    E)7

Betül defterine periyodik olarak, SDO0 AD) O0 AD00 AD.
Betül defterine periyodik olarak, SDO0 AD) O0 AD00 AD.1024×768 71.2 KB

2

Periyodik Şekil Dizisinde Üçgen ile Biten Satır Sayısının Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Periyodik tekrar eden dizilerde n. elemanın türünü belirlemek için modüler aritmetik kullanılır:

k\text{. satırın son elemanının sıra numarası} = 7 \times k
\text{Sembolün periyottaki yeri} = (7k) \pmod{\text{Periyot Uzunluğu}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Periyot Uzunluğunu ve Sembol Sırasını Belirleme
Dizideki şekiller sırasıyla incelendiğinde 5 farklı sembolün sürekli tekrar ettiği görülür:

    1. Sembol: \triangle (Üçgen)
    1. Sembol: \square (Kare)
    1. Sembol: \text{Altıgen}
    1. Sembol: \bigcirc (Daire)
    1. Sembol: * (Yıldız)

Bu durumda periyot uzunluğu T = 5’tir.

Adım 2 — Satırların Son Elemanının Kuralını Bulma
Her satırda 7 şekil bulunduğundan, k. satırın son elemanı toplamda (7 \times k). şekildir.
Bir satırın \triangle (üçgen) ile bitmesi için bu satırın son elemanının periyodun 1. elemanına denk gelmesi gerekir:

7k \equiv 1 \pmod 5

Adım 3 — Modüler Denklemi Çözme

7 \equiv 2 \pmod 5 \implies 2k \equiv 1 \pmod 5

Her iki tarafı 3 ile çarparsak:

6k \equiv 3 \pmod 5 \implies k \equiv 3 \pmod 5

Demek ki numarası 5’e bölündüğünde 3 kalanını veren her satır \triangle ile biter.

Adım 4 — 20 Satır İçindeki Uygun Satırları Sayma
k \in \{1, 2, 3, \dots, 20\} aralığında k \equiv 3 \pmod 5 şartını sağlayan satır numaraları:

k \in \{3, 8, 13, 18\}

Toplamda 4 satır \triangle şekli ile bitmiştir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Periyodik Dizi Problemleri

  • Tanım: Belli bir düzende kendini tekrarlayan elemanların oluşturduğu dizilerdir.
  • Bu problemde: 5 elemanlı bir şekil örüntüsü her satırda 7’şerli gruplanarak modüler aritmetik ile incelenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Satır başlarındaki kaymayı hesaba katmamak

  • Yanlış: Her satırın aynı sembolle bittiğini veya sadece satır sayısını 5’e bölüp kalana bakmayı düşünmek.
  • Doğru: Her satır 7 elemandan oluştuğu için k. satırın son elemanının 7k olduğunu hesaplayıp 7k \pmod 5 bağıntısını kurmak.
  • Neden yanlış: Satır uzunluğu (7) ile periyot uzunluğu (5) aralarında asal olduğundan her satır farklı bir sembolle biter.

Benzer bir modüler aritmetik veya periyodik problem sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?

3

anlamadım daha basit bir dille anlatabilir misin

4

Periyodik Şekil Örüntüsünün Basit Adımlarla Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Şekiller 5’erli gruplar halinde baştan sona kendini tekrarlar:

\text{Örüntü:} \quad 1.\, \triangle \quad 2.\, \square \quad 3.\, \text{Altıgen} \quad 4.\, \bigcirc \quad 5.\, *

Bir satırın \triangle ile bitmesi için o satırın sonundaki şeklin sırasının 5’e bölündüğünde 1 kalanını vermesi gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Step 1 — Şekillerin Tekrar Düzenini Belirleme
Örüntüye baktığımızda 5 farklı şekil sırayla dizilmektedir:

  • 1. şekil = \triangle
  • 2. şekil = \square
  • 3. şekil = \text{Altıgen}
  • 4. şekil = \bigcirc
  • 5. şekil = *
  • 6. şekil tekrar \triangle, 7. şekil tekrar \square olur.

Step 2 — İlk 5 Satırın Hangi Şekille Bittiğini Bulma
Her satıra 7 şekil yazıldığı için her satırın bittiği şeklin numarasını 5’e bölüp kalanına bakalım:

  • 1. Satırın Sonu: 1 \times 7 = 7. şekil \rightarrow 7’nin 5’e bölümünden kalan 2 (Kare ile biter)
  • 2. Satırın Sonu: 2 \times 7 = 14. şekil \rightarrow 14’ün 5’e bölümünden kalan 4 (Daire ile biter)
  • 3. Satırın Sonu: 3 \times 7 = 21. şekil \rightarrow 21’in 5’e bölümünden kalan 1 (\triangle Üçgen ile biter)
  • 4. Satırın Sonu: 4 \times 7 = 28. şekil \rightarrow 28’in 5’e bölümünden kalan 3 (Altıgen ile biter)
  • 5. Satırın Sonu: 5 \times 7 = 35. şekil \rightarrow 35’in 5’e bölümünden kalan 0 (* Yıldız ile biter)

Step 3 — 5 Satırlık Blok Kuralını Genişletme
Görüldüğü gibi her 5 satırda sadece 1 satır (3. satır) \triangle ile bitmektedir:

  • 1 ile 5. satırlar arasında \rightarrow 3. satır
  • 6 ile 10. satırlar arasında \rightarrow 8. satır
  • 11 ile 15. satırlar arasında \rightarrow 13. satır
  • 16 ile 20. satırlar arasında \rightarrow 18. satır

Step 4 — Toplam Satır Sayısını Hesaplama
Toplam 20 satır içerisinde 5’li gruplardan 20 \div 5 = 4 adet vardır.
Her grupta 1 tane \triangle ile biten satır olduğuna göre:

4 \times 1 = 4\text{ satır}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4 (3, 8, 13 ve 18. satırlar)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Periyot Gruplaması

  • Tanım: Tekrar eden olayları tek tek saymak yerine döngü gruplarına ayırarak pratik şekilde sonuca ulaşma yöntemidir.
  • Bu problemde: 20 satırı tek tek yazmak yerine ilk 5 satırdaki düzen bulunmuş ve 20 satıra genişletilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 20 satırın tamamını elle çizmeye çalışmak

  • Yanlış: Tüm şekilleri tek tek alt alta yazıp sayarak vakit kaybetmek.
  • Doğru: İlk periyottaki (ilk 5 satırdaki) kuralı tespit edip toplam satır sayısına oranlamak.
  • Neden yanlış: Sınavda satır sayısı 20 yerine 100 veya 200 verildiğinde çizerek çözmek imkansız hale gelir.

Bu mantığı tam oturtmak için “kaç satırın kare ile bittiğini” bulmayı denemek ister misin?