Şekildeki üçgende |AC| = |BD| olduğuna göre, x kaç derecedir?
Üçgende Sinüs Teoremi ile Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşılarındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdır (Sinüs Teoremi): \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Ayrıca yarım açı formülü \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha bağıntısından yararlanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — \triangle ADC Üçgeninde Açıları Belirleme ve Sinüs Teoremi:
\triangle ADC üçgeninin iç açıları toplamından:
\angle ADC = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ) = 110^\circ
Doğrusal açıdan \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ olur.
\triangle ADC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanırsa:
\frac{|AC|}{\sin 110^\circ} = \frac{|AD|}{\sin 40^\circ} \implies |AC| = |AD| \cdot \frac{\cos 20^\circ}{\sin 40^\circ}
Yarım açı formülü (\sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ\cos 20^\circ) yerine yazıldığında ve |BD| = |AC| eşitliği kullanıldığında:
|BD| = |AC| = \frac{|AD|}{2\sin 20^\circ} \implies \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{1}{2\sin 20^\circ}
Adım 2 — \triangle ABD Üçgeninde Sinüs Teoremi ve x Açısının Bulunması:
\triangle ABD üçgeninde iç açılar toplamı 180^\circ olduğundan:
\angle BAD = 180^\circ - (x + 70^\circ) = 110^\circ - x
\triangle ABD üçgeninde Sinüs Teoremi yazılırsa:
\frac{|BD|}{\sin(110^\circ - x)} = \frac{|AD|}{\sin x} \implies \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x}
İki denklem eşitlendiğinde:
\frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x} = \frac{1}{2\sin 20^\circ} \implies \sin x = 2\sin 20^\circ \cdot \sin(110^\circ - x)
x = 40^\circ değeri için eşitlik kontrol edilirse:
2\sin 20^\circ \cdot \sin(110^\circ - 40^\circ) = 2\sin 20^\circ \sin 70^\circ = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ
f(x) = \frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x} = \sin 110^\circ \cot x - \cos 110^\circ fonksiyonu (0^\circ, 110^\circ) aralığında birebir ve azalan olduğundan x = 40^\circ tek çözümdür.
CEVAP: 40^\circ (x = 40^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Farklı konumlarda verilen eşit kenarlar (|AC| = |BD|) arasında doğrudan bir ikizkenarlık kurulamıyorsa, ortak kenar (AD) üzerinden Sinüs Teoremi kurularak trigonometrik yarım açı sadeleştirmesi yapmak en hızlı ve kesin yoldur.