Şekildeki tekerlek V öteleme hızıyla yuvarlanma hareketi yapıyor

LİSE
1

Şekildeki tekerlek V öteleme hızıyla yuvarlanma hareketi yapıyor. K, L ve M noktalarının yere göre anlık hızlarının büyüklükleri arasındaki ilişki nasıldır?
\left(\sin 30^irc = \frac{1}{2}, os 30^irc = \frac{\sqrt{3}}{2} \right)

Şekildeki tekerlek V öteleme hızıyla yuvarlanma hareketi yapıyor.
Şekildeki tekerlek V öteleme hızıyla yuvarlanma hareketi yapıyor.1024×489 43.9 KB

2

Yuvarlanan Tekerlekte Anlık Hız Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kaymadan yuvarlanma hareketi yapan bir tekerleğin herhangi bir noktasının yere göre anlık hızı; tekerleğin yerle temas ettiği anlık dönme merkezine olan uzaklığı ile doğru orantılıdır (\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{d}) veya öteleme hızı ile dönme hızının vektörel toplamı (\vec{v}_{\text{anlık}} = \vec{v}_{\text{öt}} + \vec{v}_{\text{dön}}) ile bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Anlık Dönme Merkezine Göre Uzaklıkların Belirlenmesi
Tekerleğin yarıçapına R diyelim. Kaymadan yuvarlanan tekerleğin yerle temas ettiği en alt nokta anlık dönme merkezidir (T). Tekerlek sola doğru V hızıyla ilerlediğinden \omega \cdot R = V olur.

  • K noktası: En üst noktada yer alır. Yerle temas noktasına (T) olan uzaklığı çap kadardır:
    d_K = 2R
  • L noktası: Tekerleğin sağ kenarındadır. T noktasına olan yatay uzaklığı R, düşey uzaklığı R olduğundan Pisagor bağıntısıyla:
    d_L = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}
  • M noktası: Yatayın 30^\circ altında yer alır. Merkez orijin (0,0) kabul edilirse T(0, -R) ve M\left(-R\cos 30^\circ, -R\sin 30^\circ\right) olur:
    d_M = \sqrt{\left(-R\frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + \left(-\frac{R}{2} - (-R)\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}R^2 + \frac{1}{4}R^2} = R

Adım 2 — Noktaların Yere Göre Anlık Hız Büyüklüklerinin Hesaplanması
Hız büyüklükleri v = \omega \cdot d bağıntısıyla hesaplanır:

v_K = \omega \cdot (2R) = 2V
v_L = \omega \cdot (R\sqrt{2}) = \sqrt{2}V \approx 1{,}41V
v_M = \omega \cdot R = V

Değerler karşılaştırıldığında sıralama v_K > v_L > v_M olarak elde edilir.

:white_check_mark: CEVAP: v_K > v_L > v_M

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yuvarlanma sorularında öteleme ve dönme hız vektörlerini ayrı ayrı toplayıp açı hesaplamak yerine, tekerleğin yere değdiği anlık dönme noktasına olan geometrik uzaklığı bulmak çözümü çok daha hızlı ve hatasız kılar. Merkeze uzaklık değil, temas noktasına uzaklık hızı belirler.

3

@Akademik_Rehber M noktasını daha ayrıntılı anlatır mısın

4

M noktasının yere göre anlık hızını iki farklı yoldan inceleyelim:

1. Yol: Eşkenar Üçgen (Anlık Dönme Merkezi) Yöntemi (En Pratik Yol)

Kaymadan yuvarlanan tekerleklerin yerle temas ettiği en alt nokta anlık dönme merkezidir. Bu noktaya T noktası diyelim.

Tekerlek üzerindeki bütün noktalar, o an için T noktası etrafında \omega açısal hızıyla döner. Bu yüzden herhangi bir noktanın yere göre hızı, T noktasına olan kuş uçuşu uzaklığı (d) ile doğru orantılıdır (v = \omega \cdot d):

  1. Kenar Uzunlukları:

    • Tekerleğin merkezine O dersek; |OT| = R (yarıçap) ve |OM| = R (yarıçap) olur.
    • Yani OTM üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

  2. Açı Hesabı:

    • OT çizgisi merkezden tabana inen düşey doğrudur (saat 6 yönü).
    • OM çizgisi ise yatayın 30^\circ altındadır (şekilde kesikli çizgiyle gösterilen 30^\circ).
    • Yatay eksen ile düşey eksen arası 90^\circ olduğundan, OM yarıçapı ile OT düşey yarıçapı arasındaki açı:
      90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\text{ olur.}

  3. Eşkenar Üçgenin Oluşumu:

    • OTM üçgeninde iki kenar birbirine eşit (|OM| = |OT| = R) ve tepe açısı 60^\circ’dir.
    • Tepe açısı 60^\circ olan bir ikizkenar üçgen eşkenar üçgendir.
    • Dolayısıyla M noktasının yerle temas noktasına olan uzaklığı da:
      d_M = R\text{ bulunur.}

  4. Hız Değeri:

    v_M = \omega \cdot d_M = \omega \cdot R = V

2. Yol: Vektörel Hız Toplamı (\vec{v}_{\text{öt}} + \vec{v}_{\text{dön}})

M noktasının hızı, öteleme ve dönme hız vektörlerinin bileşkesidir:

  • Öteleme Hızı (\vec{v}_{\text{öt}}): Tekerlek sola doğru gittiği için tekerleğin her noktası gibi M noktası da sola doğru V büyüklüğünde öteleme hızına sahiptir.
  • Dönme Hızı (\vec{v}_{\text{dön}}): Tekerlek sola yuvarlandığı için saat yönünün tersine döner. M noktasındaki dönme hızı, yarıçapa dik (teğet) olup büyüklüğü V’dir.
  • Aralarındaki Açı:
    • OM yarıçapı yatayla aşağı doğru 30^\circ açı yapar.
    • Bu yarıçapa dik olan teğetsel dönme hızı vektörü, yatayla aşağı doğru 60^\circ açı yapar.
    • Sola doğru olan yatay öteleme hızı vektörü ile bu dönme hızı vektörü arasındaki açı 120^\circ olur.

Kosinüs teoremi (veya özel durum: aralarında 120^\circ olan eşit iki vektör) uygulandığında:

v_M = \sqrt{V^2 + V^2 + 2 \cdot V \cdot V \cdot \cos(120^\circ)}
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \implies v_M = \sqrt{V^2 + V^2 - V^2} = V

Her iki yöntemle de görüldüğü üzere v_M = V çıkar.