Yarıçapları 2r , r olan dik silindir şeklindeki kapların birinde h yüksekliğinde sıvı vardır.
Şekildeki konumda K noktasındaki sıvı basıncı P olduğuna göre, X musluğu açılıp denge sağlandığında K noktasındaki sıvı basıncı kaç P olur? (Bağlantı borusunun hacmi önemsenmiyor.)
A) \frac{4}{5}
B) \frac{3}{5}
C) \frac{2}{5}
D) \frac{1}{5}
E) \frac{3}{4}
Birleşik Kaplarda Sıvı Basıncı ve Sıvı Seviyesi Dengesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Düşey kesiti verilen birleşik kaplarda denge durumunda her iki koldaki sıvı seviyeleri eşitlenir. Durgun sıvı basıncı P = h \cdot d \cdot g ve silindirik kap hacmi V = S \cdot h = \pi r^2 \cdot h bağıntılarıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kapların Taban Alanlarını ve İlk Sıvı Hacmini Belirleme
Yarıçapı 2r olan birinci silindirin taban alanı S_1, yarıçapı r olan ikinci silindirin taban alanı S_2 olsun. Dairesel kesit alanı formülünden (S = \pi r^2):
S_1 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4S \quad \text{ve} \quad S_2 = \pi r^2 = S
Birinci kapta h yüksekliğinde sıvı bulunduğundan toplam sıvı hacmi:
V = S_1 \cdot h = 4S \cdot h
Başlangıçta K noktasındaki sıvı basıncı ise P = h \cdot d \cdot g olarak verilir.
Adım 2 — Musluk Açıldıktan Sonraki Denge Yüksekliğini Bulma
X musluğu açıldığında sıvılar tabandan birbirine akar ve her iki kolda sıvı seviyesi ortak bir h' değerine ulaşır. Toplam sıvı hacmi korunduğundan:
V_{\text{toplam}} = (S_1 + S_2) \cdot h'
4S \cdot h = (4S + S) \cdot h' \implies 4S \cdot h = 5S \cdot h' \implies h' = \frac{4}{5}h
Adım 3 — K Noktasındaki Son Sıvı Basıncını Hesaplama
Denge durumunda K noktasının üzerindeki yeni sıvı yüksekliği h' = \frac{4}{5}h olur. Buna göre son basınç (P'):
P' = h' \cdot d \cdot g = \frac{4}{5} h \cdot d \cdot g = \frac{4}{5}P
CEVAP: A) \frac{4}{5} (P' = \frac{4}{5}P)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yarıçap oranının karesi taban alanları oranını verir (r \to S, 2r \to 4S). Sıvı toplam alana (4S + S = 5S) yayılacağından, yeni yükseklik başlangıçtaki hacmin toplam alana oranıyla (h' = \frac{4S \cdot h}{5S}) pratik yoldan bulunabilir.