Şekildeki homojen dikdörtgenler prizmasının taban yarı-
çapı r, yüksekliği h, hacmi V ve ağırlığına karşı dayanık-
Ialiğı D’dir.
Buna göre;
grafiklerinden hangileri doğru’olabili?
A) Yalnız|
D) l ve II|
h
B) Yalnız |
C) I ve l|
E) 1, I| ve Ill
Silindirin Hacim, Yarıçap, Yükseklik ve Dayanıklılık Grafiklerinin Analizi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katı Cisimlerin Kendi Ağırlığına Karşı Dayanıklılık Formülünün Hatırlanması
Düzgün geometrik şekilli katı cisimlerin (silindir, prizma, küp) kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılığı (D); kesit alanının hacme oranlanması ile bulunur:
D \propto \frac{\text{Kesit Alanı}}{\text{Hacim}} = \frac{\pi r^2}{\pi r^2 \cdot h} = \frac{1}{h}
Buradan görüldüğü üzere homojen bir silindirin ağırlığına karşı dayanıklılığı yalnızca yüksekliği (h) ile ters orantılıdır; taban yarıçapına (r) bağlı değildir.
Adım 2 — I. Grafiğin (V - r) İncelenmesi
- Silindirin hacim bağıntısı V = \pi r^2 h şeklindedir.
- Eğer silindirin taban yarıçapı r sabit tutulup yüksekliği h artırılırsa, r değişmeden hacim V artar.
- Bu durum V - r grafiğinde r eksenine dik, düşey bir doğru olarak çizilir. Dolayısıyla I. grafik doğru olabilir.
Adım 3 — II. Grafiğin (D - h) İncelenmesi
- Dayanıklılık bağıntısı D \propto \frac{1}{h} olduğundan, silindirin yüksekliği arttıkça dayanıklılığı ters orantılı olarak azalır.
- II. grafikte verilen azalan eğri (ters orantı hiperbolü), D ile h arasındaki ilişkiyi doğru temsil etmektedir. Dolayısıyla II. grafik doğru olabilir.
Adım 4 — III. Grafiğin (D - r) İncelenmesi
- Dayanıklılık D = \frac{1}{h} olduğundan, yükseklik sabit kaldığı sürece yarıçapın (r) değişmesi dayanıklılığı etkilemez.
- D - r grafiğinin yatay (sabit) bir doğru olması gerekir. III. grafikte gösterilen doğrusal artış fiziksel olarak mümkün değildir. Dolayısıyla III. grafik yanlıştır.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A. Yalnız I — II. grafik de fiziksel olarak doğru bir durumu ifade etmektedir.
B. Yalnız II — I. grafik de yarıçap sabitken yükseklik değişiminde doğru olabilmektedir.
C. I ve II — Hem r sabitken hacmin artışı (I) hem de yükseklik arttıkça dayanıklılığın ters orantılı azalması (II) doğrudur.
D. II ve III — III. grafik hatalıdır çünkü dayanıklılık taban yarıçapına bağlı değildir.
E. I, II ve III — III. grafik hatalı olduğu için elenir.
Adım 6 — Son Doğrulama
Kendi ağırlığına karşı dayanıklılık yalnızca düşey boyut olan h ile ters orantılıdır (D \propto \frac{1}{h}). Sabit r için hacmin artabilmesi ve h arttıkça dayanıklılığın azalması durumları I ve II numaralı grafiklerle tam uyumludur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Dayanıklılık ve boyut ilişkileriyle (örneğin cisimlerin ölçeklendirilmesi durumundaki değişimler) ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?