Şekildeki ABCD karesinde m(∠ACE)=x ve tan(∠CEB)=3/2 veriliyor. Buna göre cos 2x kaçtır?

YKS TYT
1

17686666127505406593716106902543
17686666127505406593716106902543720×960 19.9 KB

2

Şekildeki ABCD karesinde m(∠ACE)=x ve tan(∠CEB)=3/2 veriliyor. Buna göre cos 2x kaçtır?

Temel Çıkarımlar:

  • E noktası, AB kenarı üzerinde ve koordinat sistemiyle modellendiğinde (e,0) olarak ifade edilir.
  • \tan(\angle CEB)\;=\;\dfrac{1}{1-e}\;=\;\dfrac{3}{2} eşitliğinden E noktası (\tfrac{1}{3},0) bulunur.
  • \,\cos x=\dfrac{5}{\sqrt{26}}\, olduğundan $$\cos2x=2\cos^2x-1=\frac{12}{13}.$$

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Koordinat ataması:
    A$(0,0), B(1,0), C(1,1) alalım. E noktasını (e,0)$ diye gösterelim.

  2. \tan(\angle CEB) ifadesi:

    • \overrightarrow{EB}=(1-e,\,0),
      \overrightarrow{EC}=(1-e,\,1).
    • İki vektör arasındaki açının tanjantı
      $$\tan\theta=\frac{|\overrightarrow{EB}\times\overrightarrow{EC}|}{\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EC}}
      =\frac{1-e}{(1-e)^2}=\frac{1}{1-e}.$$
    • \tan(\angle CEB)=\tfrac{3}{2} olduğuna göre
      \frac{1}{1-e}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 1-e=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad e=\frac{1}{3}.

  3. \cos x hesabı (x=\angle ACE):

    • \overrightarrow{CA}=(-1,-1), \overrightarrow{CE}=(-\tfrac{2}{3},-1).
    • Skaler çarpım:
      $$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CE}
      =(-1)\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)+(-1)(-1)=\frac{5}{3}.$$
    • Normlar: \|\overrightarrow{CA}\|=\sqrt2, \|\overrightarrow{CE}\|=\tfrac{\sqrt{13}}{3}.
    • Böylece
      $$\cos x
      =\frac{\frac{5}{3}}{\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{13}}{3}}
      =\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

  4. \cos2x formülü:
    $$\cos2x=2\cos^2x-1
    =2\Bigl(\frac{5}{\sqrt{26}}\Bigr)^2-1
    =\frac{50}{26}-1
    =\frac{12}{13}.$$

Yanıt: \displaystyle \frac{12}{13}

Özet Tablosu

Aşama Sonuç
E noktası koordinatı (\tfrac{1}{3},0)
\cos x \dfrac{5}{\sqrt{26}}
\cos 2x \dfrac{12}{13}

SSS

S1. Neden \tan(\angle CEB)=\frac{1}{1-e} formülü kullanıldı?
Cevap: İki vektör arasındaki açının tanjantını, vektörlerin 2B çarpımı bölü skaler çarpımıyla hesaplarız.

S2. \cos2x formülünü neden 2\cos^2x-1 olarak aldık?
Cevap: Çift açı formüllerinden \cos2x=2\cos^2x-1 genel eşitliği kullanıldı.

S3. Koordinat yöntemi yerine geometride başka bir çözüm yolu var mı?
Cevap: Eksen yerleştirme yerine benzerlik ve trigonometri oranları da kullanılabilir.

Çözümü pekiştirmek için benzer bir açı sorusu üzerinde çalışmak ister misiniz? @Jelly

3

Resimli Soru 17-01-2026 19:16:47 - Trigonometri Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • ABCD bir kare olduğundan tüm kenar uzunlukları eşittir.
  • Verilen açı ve tan değerleri kullanılarak açının trigonometrik fonksiyonları hesaplanabilir.
  • Amaç, verilen x açısının iki katının kosinüsünü yani cos 2x değerini bulmaktır.

Şekilde verilen:

  • m(\widehat{ACE}) = x
  • \tan(\widehat{CEB}) = \dfrac{3}{2}

Buna göre, cos 2x değerini hesaplayacağız.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Bilgi Düzenlemesi
  2. Trigonometrik İlişkilerin Tespiti
  3. cos 2x Hesaplama
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Problemin Analizi ve Bilgi Düzenlemesi

  • ABCD karesi olduğundan:
    |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 1 (Ölçek seçmek sonradan işlemi kolaylaştırır)
  • C noktası köşe noktasıdır, E noktası ise AB kenarında bir noktadır (AB kenarında x koordinatı olarak düşünebiliriz).
  • Soruda \tan(\widehat{CEB}) = \frac{3}{2} verilmiş, bu açı C-E-B üçgenindeki açıdır.
  • m(\widehat{ACE}) = x açısı ise A-C-E üçgenindeki bir açıdır ve cos 2x istenmektedir.

2. Trigonometrik İlişkilerin Tespiti

Kare ABCD’de koordinat sistemi koyarsak;

  • A = (0,0)
  • B = (1,0)
  • C = (1,1)
  • D = (0,1)
  • E = (e,0), burada 0<e<1 olacak

tan(\widehat{CEB}) = \frac{3}{2} olduğundan:

  • \widehat{CEB} açısı, noktalar C(1,1), E(e,0), B(1,0) ile oluşturulan açı.
  • Bu açının tan’ını CE ve EB vektörleri veya koordinat farkları yardımıyla bulabiliriz.

CE vektörü:

CE = (1 - e, 1 - 0) = (1 - e, 1)

EB vektörü:

EB = (1 - e, 0 - 0) = (1 - e, 0)

Ancak \tan(\widehat{CEB}) burada, E noktasındaki açı olduğundan, CE ile EB arasındaki açı demektir.

Bir noktadaki iki vektör arasındaki açının tan’ı:

\tan \theta = \frac{|CE_y - EB_y|}{|CE_x - EB_x|} \quad \text{yerine} \quad \tan \theta = \frac{|CE_y - EB_y|}{|CE_x - EB_x|} \quad \text{değil.}

Daha doğru:

Bir noktadaki iki doğru arasındaki açı, o noktada kıyaslanan vektörlerin yönleri arasındadır.

EB vektörü yatay eksene paralel (pozitif x yönü).
CE vektörü ise yukarı ve sağa doğru (1 - e, 1) yönünde.

\tan(\widehat{CEB}) yani E noktasındaki açı, CE doğrusu ile EB doğrusu arasındaki açıdır.

Bu açı CEB açısının tan’ı:

\tan (\widehat{CEB}) = \frac{\text{yükseklik farkı}}{\text{yatay fark}} = \frac{1}{1-e}

Çünkü EB doğrusu y = 0, CE doğrusu E’den C’ye çıkış.

Ancak soruda \tan(\widehat{CEB}) = \frac{3}{2} verilmiş. Buradan:

\tan(\widehat{CEB}) = \frac{1}{1-e} = \frac{3}{2} \Rightarrow 1-e = \frac{2}{3} \Rightarrow e = \frac{1}{3}

Yani E noktası x= \frac{1}{3}.

Şimdi x = m(\widehat{ACE}) açısını bulalım:

  • Noktalar:
    A(0,0)
    C(1,1)
    E(\frac{1}{3},0)

Açı, C noktasında A-C-E açısıdır. Yani x = \angle ACE.

CA ve CE vektörlerini yazalım:

\vec{CA} = A - C = (0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1)
\vec{CE} = E - C = \left(\frac{1}{3} -1, 0-1 \right) = \left(-\frac{2}{3}, -1 \right)

İki vektör arasındaki açı \theta için:

\cos \theta = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CE}}{|\vec{CA}||\vec{CE}|}

İç çarpım:

\vec{CA} \cdot \vec{CE} = (-1)(-\frac{2}{3}) + (-1)(-1) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}

Normlar:

|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
|\vec{CE}| = \sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}

O halde,

\cos x = \frac{\frac{5}{3}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3}} = \frac{5/3}{\frac{3\sqrt{26}}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}

(Düzeltme: Önceki ifadede hata var. Düzeltelim.)

Doğru hesap:

\cos x = \frac{5/3}{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{13}}{3}} = \frac{5/3}{\frac{\sqrt{26}}{3}} = \frac{5/3}{\sqrt{26}/3} = \frac{5}{\sqrt{26}}

Yani:

\cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5 \sqrt{26}}{26}

3. cos 2x Hesaplama

İkili açı formülü:

\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1

Önce \cos^2 x’i hesaplayalım:

\cos^2 x = \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{25}{26}

O zaman:

\cos 2x = 2 \times \frac{25}{26} - 1 = \frac{50}{26} - 1 = \frac{50}{26} - \frac{26}{26} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 \tan(\widehat{CEB}) = \frac{3}{2} den e noktası bulundu e = \frac{1}{3}
2 \cos x hesaplandı \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5 \sqrt{26}}{26}
3 \cos 2x formülü uygulandı \frac{12}{13}
Sonuç Soru şıkkı B) \frac{12}{13}

Sık Sorulan Sorular

1. Bu problemde neden kare varsayımı önemli?
Kare olduğundan tüm kenarlar eşit ve düz koordinat sistemi seçmek kolaydır, bu da hesapları basitleştirir.

2. Tanım ve kosinüs ilişkisi nasıl oluşturuldu?
Doğru noktaların koordinatları kullanılarak vektörler arası açılar trigonometrik formüllerle hesaplandı.

3. Diğer trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilir miydi?
Evet, sin veya tan gibi fonksiyonlarla da hesap yapılabilir ancak kosinüs ile ikili açı formülü daha doğrudur.

Sonraki Adımlar

İstersen, trigonometrik açıların vektör bileşenleriyle nasıl hesaplandığını örneklerle daha derin inceleyebiliriz. İstersen bu tür benzer kare ve paralelkenar üzerinde açılar problemlerine yönelik çözüm tekniklerini de anlatabilirim.

@Jelly