Şekildeki 19 kabinden oluşan dönme dolaptaki her kabinde yolcular bulunmakta olup,
• kabin numarası 3’e tam bölünüp 2’ye tam bölünemeyen kabinlerde 4 yolcu,
• diğer kabinlerde 6 yolcu
bulunmaktadır.
Buna göre, dönme dolapta bulunan toplam yolcu sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Kümeler ve Bölünebilme Kuralları ile Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Verilen koşullara göre elemanları ayrık kümelere ayırıp her kümedeki toplam yolcu sayısını bulduktan sonra, elde edilen toplam sayının 5 ile bölümünden kalanını belirlemek için modüler aritmetik (bölünebilme) kuralı (T \pmod 5) uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kabinleri Gruplara Ayırma ve Sayılarını Belirleme
Dönme dolapta 1’den 19’a kadar numaralandırılmış toplam 19 adet kabin bulunmaktadır:
- 2’ye tam bölünen kabinler: \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\} olmak üzere toplam 9 kabin vardır.
- 3’e bölünüp 2’ye bölünemeyen kabinler: 3’ün katı olan tek sayılardır: \{3, 9, 15\} olmak üzere toplam 3 kabin vardır.
- Diğer kabinler: Toplam kabin sayısından ilk iki gruptaki kabinler çıkarılarak bulunur:
19 - (9 + 3) = 19 - 12 = 7 \text{ kabin}
Adım 2 — Her Gruptaki ve Toplamdaki Yolcu Sayısını Hesaplama
Her kabin türündeki yolcu sayıları ile kabin sayıları çarpılır:
- 2’ye bölünen kabinlerdeki yolcu sayısı: 9 \times 5 = 45
- 3’e bölünüp 2’ye bölünmeyen kabinlerdeki yolcu sayısı: 3 \times 4 = 12
- Diğer kabinlerdeki yolcu sayısı: 7 \times 6 = 42
\text{Toplam Yolcu Sayısı} = 45 + 12 + 42 = 99
Adım 3 — 5 ile Bölümünden Kalanı Bulma
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağına bakılarak veya doğrudan mod işlemi ile bulunur:
99 = 5 \times 19 + 4
Dolayısıyla 99’un 5 ile bölümünden kalan 4 olur.
CEVAP: E) 4 (99 \equiv 4 \pmod 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Büyük işlemlerden kaçınmak için modüler aritmetikten yararlanabilirsiniz: 5 yolcu taşıyan kabinler zaten 5’in katı olduğu için kalana katkısı 0’dır. Kalanı doğrudan (3 \times 4) + (7 \times 6) = 12 + 42 = 54 \equiv 4 \pmod 5 şeklinde birkaç saniyede pratikçe bulabilirsiniz.