Şekilde gösterilen 1. kutucuk içine bir sayı yazılmış ve sonraki kutucuklara yazılan sayılar, kutucukların üstünde ve altında oklarla gösterilen ve aynı düzende devam eden işlemler bir önceki kutucuktaki sayıya uygulanarak elde edilmiştir.
Buna göre, şekildeki 5. kutu içerisine yazılan sayı kaçtır?
A) 8
B) 16
C) 32
D) 64
E) 128
Üslü İfadeler ve Sayı Örüntüleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık adımlarda çarpma ve bölme işlemlerinin oluşturduğu periyodik değişim, üslü ifadeler cinsinden 4 = 2^2 ve \div 2 = \cdot 2^{-1} şeklinde ifade edilerek toplam net kuvvet değişimi bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kutular Arasındaki İşlem Sayısını ve Net Çarpanı Bulma
- kutudan 20. kutuya ulaşmak için toplam 20 - 1 = 19 adet işlem yapılır:
- Tek numaralı adımlar (1, 3, 5, …, 19): Toplam 10 kez \times 4 yani \times 2^2 işlemi uygulanır.
- Çift numaralı adımlar (2, 4, 6, …, 18): Toplam 9 kez \div 2 yani \times 2^{-1} işlemi uygulanır.
- kutudaki sayı x olsun. 20. kutudaki sayı:
x \cdot (2^2)^{10} \cdot (2^{-1})^9 = x \cdot 2^{20} \cdot 2^{-9} = x \cdot 2^{11}
Adım 2 — 1. Kutudaki Sayıyı Hesaplama
20. kutuda yazan sayı 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15} olarak verilmiştir.
x \cdot 2^{11} = 2^{15} \implies x = \frac{2^{15}}{2^{11}} = 2^4 = 16
Adım 3 — 5. Kutudaki Değeri Bulma
- kutudan 5. kutuya kadar 4 işlem (2 kez \times 4, 2 kez \div 2) gerçekleşir:
a_5 = x \cdot (2^2)^2 \cdot (2^{-1})^2 = x \cdot 2^4 \cdot 2^{-2} = x \cdot 2^2
a_5 = 16 \cdot 4 = 64
CEVAP: D) 64
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Her iki adımda bir sayı net olarak (4 \div 2 = 2) katına çıkar. Dolayısıyla tek numaralı kutular 1. kutudan itibaren her iki adımda bir 2 ile çarpılarak ilerler (a_1=16 \rightarrow a_3=32 \rightarrow a_5=64).