Soru:
Şekilde eşit karelere bölünmüş düzlende X, Y, Z ve
T vektörleri verilmiştir.
Buna göre,
H. X+2Z-T
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
AL Valnzl
B)ValnuY
Soru Fotoğrafı:
Şekilde eşit karelere bölünmüş düzlende X, Y, Z ve T vektörleri verilmiştir. Buna göre,
I. \vec{X} - \vec{Y} = \vec{Z}
II. \vec{X} + 2\vec{Z} = \vec{T}
III. |\vec{X} + \vec{Z}| = |\vec{Y}|
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Vektörlerin Grafik Üzerinden İrdelenmesi
Şekilde verilen vektörler kare boyutlarına göre yönlendirilmiştir:
- \vec{X} sağa doğru 3 birim uzunluğunda
- \vec{Y} sağa 2 birim ve yukarı 2 birim (köşeden köşeye çapraz)
- \vec{Z} yukarı 3 birim
- \vec{T} sağa 3 birim ve aşağı 3 birim (diagonal aşağı sağ köşeye)
Adım 2 — I. Eşitliği İncele: \vec{X} - \vec{Y} = \vec{Z}
\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y}) olarak yazılır.
\vec{Y} sağa 2 ve yukarı 2 ise, -\vec{Y} sola 2 ve aşağı 2 birim olacak.
\vec{X} sağa 3 birim, -\vec{Y} sola 2 birim + aşağı 2 birim.
Toplamda: sağa (3-2) = 1 birim, aşağı 2 birim.
Bu vektör yönü ve büyüklüğü \vec{Z} ile aynı mı? \vec{Z} yukarı 3 birim.
Hayır, eşit değil.
Adım 3 — II. Eşitliği İncele: \vec{X} + 2\vec{Z} = \vec{T}
\vec{X} sağa 3 birim,
\vec{Z} yukarı 3 birim, 2\vec{Z} yukarı 6 birim.
Toplam: sağa 3 birim, yukarı 6 birim.
\vec{T} ise sağa 3 birim, aşağı 3 birim.
Eşit değil.
Adım 4 — III. Eşitliği İncele: |\vec{X} + \vec{Z}| = |\vec{Y}|
Öncelikle \vec{X} + \vec{Z} vektörünü bulalım:
\vec{X} sağa 3 birim, \vec{Z} yukarı 3 birim ise \vec{X} + \vec{Z} sağa 3 birim ve yukarı 3 birim.
Büyüklüğü: \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
\vec{Y} sağa 2 birim ve yukarı 2 birim ise büyüklüğü:
\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
3√2 ≠ 2√2, yani büyüklükler eşit değil.
CEVAP: Hiçbiri doğru değildir.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Vektör Toplamı ve Farkı
- Tanım: Vektörlerin bileşenleri toplanarak veya çıkarılarak yeni bir vektör elde edilir.
- Bu problemde: Yön ve büyüklükleri grafik üzerinden bileşen olarak alınarak işlemler yapıldı.
2. Vektör Büyüklüğü
- Tanım: Vektörün uzunluğudur, bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü ile bulunur.
- Bu problemde: Doğrusal vektörlerin büyüklükleri karşılaştırıldı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Şekilde eşit karelere bölünmüş düzlende X, Y, Z ve T vektörleri verilmiştir. Buna göre,
I. \vec X-\vec Y=\vec Z
II. \vec X+2\vec Z=\vec T
III. |\vec X+\vec Z|=|\vec Y|
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat ataması (birim kare kenarı = 1 kabul edilir)
Tanım: Alt köşe noktası orijin (0,0) alınsın.
\vec X=(2,0)
\vec Y=(1,1)
\vec Z=(0,-1)
\vec T=(2,-2)
Adım 2 — I seçeneğini incele: \vec X-\vec Y=\vec Z
Birinci işlem:
\vec X-\vec Y
= (2,0)-(1,1)
= (1,-1)
Karşılaştırma:
\vec Z
= (0,-1)
Sonuç: (1,-1)\neq(0,-1), dolayısıyla I YANLIŞ.
Adım 3 — II seçeneğini incele: \vec X+2\vec Z=\vec T
Birinci işlem:
2\vec Z
= 2\cdot(0,-1)
= (0,-2)
İkinci işlem:
\vec X+2\vec Z
= (2,0)+(0,-2)
= (2,-2)
Karşılaştırma:
\vec T
= (2,-2)
Sonuç: (2,-2)=(2,-2), dolayısıyla II DOĞRU.
Adım 4 — III seçeneğini incele: |\vec X+\vec Z|=|\vec Y|
Birinci işlem:
\vec X+\vec Z
= (2,0)+(0,-1)
= (2,-1)
İkinci işlem (uzunluk):
|\vec X+\vec Z|
= \sqrt{2^2+(-1)^2}
= \sqrt{5}
Üçüncü işlem (|\vec Y|):
|\vec Y|
= \sqrt{1^2+1^2}
= \sqrt{2}
Sonuç: \sqrt{5}\neq\sqrt{2}, dolayısıyla III YANLIŞ.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
II. — DOĞRU — çünkü \vec X+2\vec Z=(2,-2)=\vec T.
I. — YANLIŞ — çünkü \vec X-\vec Y=(1,-1)\neq\vec Z.
III. — YANLIŞ — çünkü |\vec X+\vec Z|=\sqrt{5}\neq\sqrt{2}=|\vec Y|.
CEVAP: Yalnız II doğru.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Şekilde eşit karelere bölünmüş düzlende X, Y, Z ve T vektörleri verilmiştir. Buna göre,
I. \vec X - \vec Y = \vec Z
II. \vec X + 2 \vec Z = \vec T
III. |\vec X + \vec Z| = |\vec Y|
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
KISA ÇÖZÜM:
- \vec X = (2,0), \vec Y = (1,1), \vec Z = (0,-1), \vec T = (2,-2)
- I. \vec X - \vec Y = (2,0) - (1,1) = (1,-1) \neq (0,-1) = \vec Z → YANLIŞ
- II. \vec X + 2\vec Z = (2,0) + 2 \cdot (0,-1) = (2,-2) = \vec T → DOĞRU
- III. |\vec X + \vec Z| = |(2,0)+(0,-1)| = |(2,-1)| = \sqrt{5} \neq \sqrt{2} = |\vec Y| → YANLIŞ
CEVAP: Yalnız II doğru.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Şekilde eşit karelere bölünmüş düzlende X, Y, Z ve T vektörleri verilmiştir. Buna göre,
I. \vec X - \vec Y = \vec Z
II. \vec X + 2 \vec Z = \vec T
III. |\vec X + \vec Z| = |\vec Y|
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
KISA ÇÖZÜM:
- \vec X = (2,0), \vec Y = (1,1), \vec Z = (0,-1), \vec T = (2,-2)
- I. \vec X - \vec Y = (1,-1) \neq \vec Z → YANLIŞ
- II. \vec X + 2\vec Z = \vec T → DOĞRU
- III. |\vec X + \vec Z| \neq |\vec Y| → YANLIŞ
CEVAP: Yalnız II doğru.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!