6
18
C
Şekilde [AB] / (EF) / [DC]
JAB| =9 birim, |DC| = 18 birim
Buna göre, |EF|= x kaç birimdir?
Paralel Doğrular Arasında Benzerlik (Kelebek ve Temel Orantı)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanları birbirine paralel olan bir yamukta veya kesişen doğrularda köşe noktalarını birleştiren doğruların kesişiminden tabana çizilen paralel doğru parçası için harmonik ortalama kuralı geçerlidir:
\frac{1}{x} = \frac{1}{|AB|} + \frac{1}{|DC|}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kelebek Benzerliği ile Kenar Oranlarını Bulma
[AB] \parallel [DC] olduğundan dolayı ABE ve CDE üçgenleri arasında Kelebek (Kum Saati) Benzerliği vardır:
\triangle ABE \sim \triangle CDE
Bu benzerlikten kenar oranını yazalım:
\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|BE|}{|ED|} = \frac{|AB|}{|DC|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}
Bu durumda |AE| = k birim ise, |EC| = 2k birim ve doğru parçasının tamamı |AC| = 3k birim olur.
Adım 2 — Temel Orantı Teoremi ile x Değerini Hesaplama
ABC üçgeninde [EF] \parallel [AB] olduğundan Temel Benzerlik Teoremi uygulanır:
\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|EF|}{|AB|}
Bulduğumuz oranları ve verilen uzunlukları yerine koyalım:
\frac{2k}{3k} = \frac{x}{9}
\frac{2}{3} = \frac{x}{9}
3x = 18 \implies x = 6\text{ birim}
(Pratik Yol: \frac{1}{x} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \implies x = 6\text{ birim})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x = 6\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kelebek Benzerliği: Karşılıklı paralel iki doğru arasında köşegenlerin kesişmesiyle oluşan ters açıların eşitliğine dayanan benzerlik türüdür.
- Temel Orantı Teoremi: Bir üçgenin bir kenarına paralel çekilen doğru, diğer kenarları orantılı parçalara böler.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: x uzunluğunu tabanların aritmetik ortalaması gibi düşünüp \frac{9 + 18}{2} = 13{,}5 almak.- Doğru Yaklaşım: EF bir orta taban değildir; köşegenlerin kesişim noktasından geçtiği için benzerlik oranları dikkate alınmalıdır.
Benzer bir geometri sorusuyla bu kuralı pekiştirmek ister misin?