Şekilde D ve E noktaları ABC üçgeninin kenarları Buna göre x kaç birimdir?

DGS
1

(AB \perp AC1
(AE \perp DF1
(F ın [AE]1
(|AD| = 5 birim1
(BE = |CE| = 10 birim1
(AC = 12 birim1
(|EF| = x1
Şekilde D ve E noktaları ABC üçgeninin kenarları üzerindedir.
Buna göre x kaç birimdir?
A) 5
B) 5,5
C) 6
D) 6,5
E) 7
Cevap Anahtarı:C

Soru Görseli
Soru Görseli800×800 61.1 KB

2

ABC Üçgeninde x Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. Muhteşem Üçlü: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
  2. Özel Üçgenler (9-12-15): Kenarlarına göre dik üçgen bağıntıları.
  3. Benzerlik (A.A. Benzerliği): İki açısı aynı olan üçgenler benzerdir.
  4. Trigonometrik Oranlar: Bir açının kosinüs değeri (\cos \theta), komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABC Üçgeninin Kenarlarını Belirleme
ABC bir dik üçgendir (m(\widehat{A}) = 90^\circ). Hipotenüs |BC| = |BE| + |EC| = 10 + 10 = 20 birimdir. |AC| = 12 birim olarak verilmiştir. Pisagor bağıntısı veya 3-4-5 üçgeninin katlarından (12-16-20):
|AB| = 16 birim bulunur.

Adım 2 — Muhteşem Üçlü ve AE Kenarını Bulma
ABC dik üçgeninde E noktası |BC| hipotenüsünün orta noktasıdır (|BE| = |EC| = 10). Dik köşeden hipotenüsün ortasına çizilen |AE| doğru parçası muhteşem üçlü kuralı gereği:
|AE| = |BE| = |EC| = 10 birimdir.

Adım 3 — Açılardan Yararlanarak Benzerlik Kurma
m(\widehat{B}) = \beta olsun. ABE üçgeni ikizkenar olduğu için (|AB|=16, |AE|=10, |BE|=10 - Hayır, burada |AE|=|BE|=10 olduğu için \triangle ABE ikizkenardır), m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{B}) = \beta olur.
\triangle ABC içinde \cos \beta = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} değerini elde ederiz.

Adım 4 — AFD Dik Üçgeninde Hesaplama
ADF üçgeninde F açısı 90^\circ derecedir. Bu üçgende A açısı \beta idi.
|AD| = 5 birim (Hipotenüs).
\cos \beta = \frac{|AF|}{|AD|}
\frac{4}{5} = \frac{|AF|}{5} işleminden |AF| = 4 birim bulunur.

Adım 5 — x Değerini (EF) Hesaplama
|AE| uzunluğunun tamamını 2. adımda 10 birim olarak bulmuştuk.
|AE| = |AF| + |FE|
10 = 4 + x
x = 6 birim bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Muhteşem Üçlü

  • Tanım: Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay uzunluğu, böldüğü parçalara eşittir.
  • Bu problemde: E noktası hipotenüsü ikiye böldüğü için |AE|=10 olduğunu anlamamızı sağladı.

2. Dik Üçgende Benzerlik

  • Tanım: Ortak açılara sahip dik üçgenlerin kenarları orantılıdır.
  • Bu problemde: ABC üçgenindeki \cos \beta oranı, küçük AFD üçgeninde |AF| kenarını bulmamıza yaradı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Benzerlik Kurmak

  • Yanlış: |AD|=5 diye doğrudan |AF|=3 demek (açıyı kontrol etmeden).
  • Doğru: Önce büyük üçgenden açının trigonometrik oranını bulup sonra küçük üçgene uygulamak.
  • Neden Yanlış: Her dik üçgen 3-4-5 üçgeni değildir, oranlar açıya göre değişir.

Benzer geometri sorularında benzerlik oranlarını pekiştirmek için başka bir örnek çözmemi ister misin?