Şekilde 120 cm uzunluğunda olan şerit 20, 15 ve 12 sayıları ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve uç uca eklenerek aşağıdaki üçgen oluşturuluyor.
Buna göre, oluşan üçgenin en kısa yüksekliği kaç cm dir?
A) 20
B) 24
C) 30
D) 36
E) 48
Ters Orantı ve Dik Üçgende Yükseklik Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ters orantılı büyüklüklerin çarpımları sabittir (x \cdot k_1 = y \cdot k_2 = z \cdot k_3 = k). Bir üçgende alan sabit olduğundan en kısa yükseklik, en uzun kenara (dik üçgende hipotenüse) ait olan yüksekliktir (a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2 \cdot \text{Alan}).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Şerit Parçalarının Uzunluklarını Bulma
Şerit uzunluğu 120\text{ cm} olup kenar uzunlukları a, b, c sırasıyla 20, 15 ve 12 ile ters orantılıdır:
20a = 15b = 12c = 60k
Buradan kenarlar orantı sabiti k cinsinden ifade edilir:
a = 3k, \quad b = 4k, \quad c = 5k
Toplam uzunluk 120\text{ cm} olduğuna göre:
3k + 4k + 5k = 120 \implies 12k = 120 \implies k = 10
Kenar uzunlukları a = 30\text{ cm}, b = 40\text{ cm} ve c = 50\text{ cm} olarak bulunur.
Adım 2 — Üçgenin Türünü ve En Kısa Yüksekliği Belirleme
Kenar uzunlukları 30 - 40 - 50 olan üçgen, 3-4-5 özel dik üçgeninin 10 katıdır (30^2 + 40^2 = 50^2). En kısa yükseklik, en uzun kenar olan 50\text{ cm}'lik hipotenüse ait olan h yüksekliğidir. Alan bağıntısından:
\text{Alan} = \frac{30 \cdot 40}{2} = \frac{50 \cdot h}{2}
30 \cdot 40 = 50 \cdot h \implies 1200 = 50h \implies h = 24\text{ cm}
CEVAP: B) 24 (h_{\text{en kısa}} = 24\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir üçgende kenar uzunluğu ile o kenara ait yükseklik ters orantılıdır (a > b > c \iff h_a < h_b < h_c). Bu nedenle en kısa yükseklik daima en büyük kenara çizilen yüksekliktir. Dik üçgenlerde hipotenüse inen dikme için a \cdot b = c \cdot h pratik alan bağıntısını doğrudan kullanabilirsiniz.