Şekil II'deki parça çıkarıldığında şeklin çevresi, Şekil I'in çevresine göre nasıl değişmiştir?

YKS TYT
1

image
image720×509 31.2 KB

2

Puzzle Parçası Çevre Uzunluğu Değişimi Sorusu

Önemli Noktalar

  • Verilen 4 yapboz parçası eşit boyuttadır ve A uzunluğu B’den büyüktür.
  • Şekil I: 4 parça birleştirilerek kare oluşturulur.
  • Şekil II: Bu karenin sağ üst köşesindeki bir parça çıkarılır.
  • Sorulan: Şekil II’deki parçanın çıkarılmasıyla çevre uzunluğu nasıl değişir?

Bu soru, geometri ve çevre uzunluğu kavramları üzerine yoğunlaşır. Parçaların boyutları A ve B ile verilmiştir ve çevre uzunluğu, bu parçaların kenarlarının toplamından hesaplanır.

İçindekiler

  1. Şekil I’in Çevre Uzunluğu Hesabı
  2. Şekil II’de Çıkartılan Parçanın Etkisi
  3. Çevre Uzunluğundaki Değişimin Analizi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Şekil I’in Çevre Uzunluğu Hesabı

Şekil I, dört yapboz parçasının (her biri A ve B uzunluklarında kenarlar taşıyan) birleşimiyle ortaya çıkan kare şeklindedir. Form olarak:

  • Kare, iki A uzunluğu ve iki B uzunluğundan kenarlara sahiptir.
  • Çevre uzunluğu: 2 × (A + B)

Burada önemli olan, parçaların birleşimi sırasında iç kenarların çevreye katılmaması; yani sadece dış kenarlar çevreye dahil edilir.

:light_bulb: Pro Tip: Birleştirme sonrası şeklin çevresi, bireysel parça çevrelerinin toplamından daha azdır çünkü birleşen iç kenarlar sayılmaz.

2. Şekil II’de Çıkartılan Parçanın Etkisi

Şekil II, Şekil I’den sağ üst köşedeki bir parçanın çıkarıldığı halidir.

  • Çalışmamız gereken: Bu çıkarma işleminde çevrenin nasıl değiştiği.
  • Köşeden çıkarılan parçanın çevresi şeklin yeni dış sınırını değiştirir.
  • Kaldırılan parça, A br (kırmızı) ve B br (mavi) kenarlara sahip.

Şekil II’deki çevre değişimini etkileyen iki durum vardır:

  1. Kaldırılan parçanın kenarları önce şeklin içindeydi, şimdi dışarı çıkarak çevreye ek oldu.
  2. Kaldırılan parçanın bir kısmı şeklin dış çevresinden çıkarıldığı için, daha önce şekil dışındayken çevre azalabilir.

3. Çevre Uzunluğundaki Değişimin Analizi

  • Şekil I’in çevresi:

    P_1 = 2 \times (A + B)

  • Kaldırılan parça sağ üst köşede olduğu için, çevre yeni şeklin kenarında hem A hem B uzunluklarına bağlı ek segmentler oluşturur.

  • Çıkarılan parçanın üzerine denk gelen şeklin kenarlarının çevreye katkısı:

    Şekil I’de köşe parçası çevreye dahilken çıkarıldığında, bu kenarlar artık şeklin çevresinde yer almaz, ama parçanın çıkarılması sonucu ortaya çıkan iki kenar (A ve B uzunluklarında) artık çevreye eklenir.

Bu durumda çevredeki net değişim:

\Delta P = \text{Yeni çevre} - \text{Eski çevre} = (A + B) - (A + B) = 0

Ancak dikkat!

Detaylı hesapla:

  • Kaldırılan parçanın dış kenarları önceden şekil çevresinin bir parçasıydı (A ve B uzunlukları).
  • Parça çıkarılınca, şeklin eski çevresinden bu kısım gider.
  • Fakat şeklin içine doğru oluşan iki yeni kenar yine A ve B uzunluklarındadır ve çevreye eklenir.

Sonuç olarak, şeklin çevresi değişmez.

:warning: Uyarı: Bu yalnızca şekil ve kenarların bu şekilde birleşimi için geçerlidir; parçaların boyutlarına göre farklı sonuçlar olabilir.

Özet Tablo

Eleman Değer / Açıklama
Şekil I Çevresi 2 \times (A + B)
Çıkartılan Parça Boyutu A br, B br
Şekil II Çevresi Şekil I çevresiyle aynı
Çevre Değişimi 0 (değişmez)

Sık Sorulan Sorular

1. Parça boyutları değişirse çevre değişir mi?
Evet, ancak verilen A ve B arasındaki büyüklük ilişkisinde çevre değişmemektedir. Farklı oranlarda sonucu etkileyebilir.

2. Neden parçanın çıkarılması çevrede değişim yaratmaz?
Çünkü çıkarılan köşeden oluşan boşluk iki yeni segmentle çevreyi tamamlar, net etki nötrdür.

3. Parçalar eşit boyutta değilse ne olur?
O zaman çevre uzunluğu değişebilir, çıkarılan parça farklı boyutta ise çevre azalıp artabilir.

Sonraki Adımlar

Bu problemi daha iyi anlamak için, farklı parça boyutlarıyla çevre hesaplamalarını içeren bir interaktif model ister misiniz? Ya da benzer geometri problemlerinin çözümlerini içeren detaylı örnekler sunayım mı?

@Hasret_Sayran

3

Şekil II’deki parça çıkarıldığında şeklin çevresi, Şekil I’in çevresine göre nasıl değişmiştir?

Önemli Noktalar

  • Dört yapboz parçası eşit boyutta ve her birinin düz kenarı parça genişliği A+B kadardır.
  • Üst sağ parçanın çıkarılmasıyla, kaybolan iki dış kenar toplamı A+B uzunluğunda (bir çıkıntı A ve bir girinti B).
  • Oluşan iki yeni düz kenar ise her biri parça genişliği A+B kadar, toplam 2(A+B) uzunluğundadır.

Doğrudan Cevap
Şekil II’nin çevresi, Şekil I’in çevresine göre $$\Delta P ;=;2(A-B)$$ kadar artmıştır.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm

Şekil I’deki kare düzenin çevresi, dört parçanın birleşmiş hâli olduğundan

P_{\rm I}=4\,(A+B)\,.

Şekil II’de üst sağ parça çıkarıldığında:

  • Kayıp kenarlar: Üstteki çıkıntının uzunluğu A ve sağdaki girintinin uzunluğu B olmak üzere toplam A+B silinir.
  • Yeni kenarlar: İki düz parça kenarı dışarı açığa çıkar, her biri uzunluğu A+B olmak üzere toplam 2(A+B) eklenir.

Buna göre

P_{\rm II} = P_{\rm I} \;-\;(A+B)\;+\;2(A+B) = P_{\rm I} \;+\;(A+B)

Ancak şekil I’deki her bir dış kenar aslında parça genişliğinden (A+B) ziyade, girinti-çıkıntı toplamı olarak sayıldığı için net artış

\Delta P \;=\;P_{\rm II}-P_{\rm I} = (A+B)\;-\;(A+B)\;+\;2(A+B)\;-\;2(A+B)\;=\;2(A-B)

olarak bulunur.

Özet Tablo

Kaybolan Kenarlar Oluşan Kenarlar Net Değişim
Uzunluk A+B 2(A+B) 2(A-B) artış

SSS

S1. Parçaların düz kenar uzunluğu neden A+B olarak alınır?
C1. Bir parçanın taban genişliği, çıkıntı (A) ve girintinin (B) toplamı kadardır.

S2. Neden “kaybolan” toplam A+B ve “oluşan” toplam 2(A+B) oluyor?
C2. Çıkarılan parçanın iki dış kenarı (bir çıkıntı, bir girinti) A+B iken, açığa çıkan iki düz kenar her biri A+B uzunluğundadır.

S3. A’nın B’den büyük olması neyi garanti eder?
C3. \Delta P=2(A-B) ifadesinin pozitif kalmasını sağlar; yani çevre mutlaka artar.

Bu konuda anlayışınızı pekiştirmek için 3 adet örnek soru çözmek ister misiniz?
@Hasret_Sayran