Şekil II'de çerçeve içerisindeki fotoğrafın kapaklar kapandıktan sonra görülen kısmının alanı kaç birim karedir?

YKS TYT
1

image
image720×640 33.4 KB

2

Kare Şeklindeki Fotoğraf Çerçevesinde Kapaklar Kapanınca Görünen Alanın Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Verilen kare çerçevenin bir kenar uzunluğu 20 birimdir (|BC| = 20).
  • Üstünde kapak olarak bulunan ikizkenar yamukların bir tabanı olan |NB| uzunluğu 4√2 birimdir.
  • Kapaklar kapandığında içte kalan fotoğrafın görünür alanı hesaplanacaktır.

Kare şeklindeki fotoğraf çerçevesinin her kenarında bulunan kapaklar, ikizkenar yamuk biçimindedir ve kapandığında çerçeve içerisindeki görünür alan, kareden kapakların kapladığı alan çıkarılarak bulunur. Kapakların tabanı, kare kenarına paraleldir ve kapalı pozisyonda kare içerisinde kalan alan, kapakların boyutlarına göre küçülür.

İçindekiler

  1. Temel Bilgiler ve Verilenler
  2. İkizkenar Yamukların Özellikleri ve Alan Hesabı
  3. Çerçeve İçerisindeki Görünen Alanın Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Temel Bilgiler ve Verilenler

  • Kare ABCD: Kenar uzunluğu |BC| = 20 birimdir.
  • Kapaklar: Her kenarda bir adet, ikizkenar yamuk biçiminde MNBL, FEAŞ, kek vs. (işaretlendiği şekilde).
  • Karenin her kenarına bitişik olan bu yamukların kısa tabanları |NB| = 4√2 birim olarak verilmiştir.

Karenin kenar uzunluğu ve kapakların kısa tabanı verildiğinde, kapaklar kapandığında içte kalan alan hesaplanabilir.

:light_bulb: Pro Tip: Kapanan kapakların oluşturduğu alanı kare alanından çıkararak kalan alanı bulun.

2. İkizkenar Yamukların Özellikleri ve Alan Hesabı

İkizkenar yamuklarda alan formülü:

A = \frac{(a + b) \times h}{2}
  • a, b : Paralel kenar uzunlukları (tabanlar)
  • h : Yamuğun yüksekliği

Burada:

  • Uzun taban = Karenin kenarı = 20 birim
  • Kısa taban = |NB| = 4\sqrt{2} birim
  • Yükseklik (h) bilinmiyor; bulmamız gerekiyor.

İkizkenar olduğu için yan kenarlar eşittir ve dik açı yok, fakat yamukların yükseklikleri dikme ile bulunabilir.

Yüksekliği bulmak için:

Yamuktaki iki yamuk kenarı, kare kenarına dik değildir. Ancak, köşe açıları 45° (çünkü |NB| = 4√2 ve bu hipotenüs formuna işaret eder: 4\sqrt{2} = 4 \times \sqrt{2} ).

Hesap:

  • Kare kenar uzunluğu = 20 birim
  • Kısa taban = 4√2 ≈ 5.656 birim
  • İkizkenar yamukta yan kenar uzunluğu (örn. NA) yüksekliği ile ilişkilidir.

Yamukların kısa tabanlarından kenara dik dikme indirirsek, belli bir üçgen oluşur. Kenarın yüksekliği:
h = \sqrt{(yan\_kenar)^2 - ((uzun\_taban - kısa\_taban)/2)^2}

Fakat yan kenar uzunluğu verilmediği için başka bir yol tercih edilir.

Buradaki kritik gözlem:

  • Kare üzerinde MN paralel ve eşit
  • |NB| kısa tabandır ve 4\sqrt{2} olarak verilmiştir.

MN ve NB yatay ve dik olarak düzenlenmiştir. Böylece yamuğun yüksekliği kare kenarı olan 20 birimden kısa tabanın çıkarılmasıyla yaklaşık olarak şöyle bulunur:

h = |BC| - |NB| = 20 - 4\sqrt{2} \approx 20 - 5.656 = 14.344 \text{ birim}

Yüksekliği yaklaşık 14.344 birim olarak alabiliriz, çünkü kapaklar yukardan ve yanlardan kapanıyor.

Yamuk alanı:

A = \frac{(20 + 4\sqrt{2}) \times 14.344}{2}
A \approx \frac{(20 + 5.656) \times 14.344}{2} = \frac{25.656 \times 14.344}{2} = \frac{367.9}{2} = 183.95 \text{ birim}^2

Her kapak yamuk alanı yaklaşık 183.95 birim kare.

:warning: Uyarı: Bu yaklaşımla her kapağın alanı bulunmuş olur.

3. Çerçeve İçerisindeki Görünen Alanın Hesaplanması

Kare alanı:

A_{kare} = 20 \times 20 = 400 \text{ birim}^2

4 tane aynı alanlı kapak var, bunların kapladığı alan toplamı:

4 \times 183.95 = 735.8 \text{ birim}^2

Bu, kapakların karenin içinde oluşan toplam alanı aşar, mümkün değil. Çünkü kapaklar kare kenarına yapışık ve kare alanını aşamaz.

Bu, yükseklik yaklaşımlarının yanlış olduğunu gösterir.

Doğru yaklaşım:

İkizkenar yamukların yan kenar uzunluğunu bulmak için |NB| kenarının kare üzerinde oluşturduğu açı ve yamuğun kenar uzunluklarını analiz etmek gereklidir.

Buradaki kritik adımlar:

  • |NB| = 4√2, dik açılı üçgenin hipotenüsü olabilir (45-45-90 üçgeninde hipotenüs a\sqrt{2})
  • Her bir kapak, kare kenarına 45° açı yaparak kapanıyor.

Bu durumda yamuğun yüksekliği kare kenar uzunluğuna eşittir:

h = |NA| = 4 \text{ birim} \quad (\text{çünkü } 4 \sqrt{2} \text{ hipotenüs ise kısa kenar } 4)

Yamuğun kısa tabanı = 4√2 (uzun taban = 20)
Yamuğun yüksekliği = 4

Yamuğun alanı:

A = \frac{(a + b) \times h}{2} = \frac{(20 + 4\sqrt{2}) \times 4}{2} = 2 \times (20 + 5.656) = 2 \times 25.656 = 51.312 \text{ birim}^2

4 tane kapak olduğuna göre;

4 \times 51.312 = 205.248 \text{ birim}^2

Kare alanından kapakların alanı çıkarılırsa:

400 - 205.248 = 194.752 \text{ birim}^2

Yani kapaklar kapandıktan sonra görünür fotoğraf alanı yaklaşık 195 birim karedir.

Özet Tablo

Öğeler Değer / Hesaplama
Kare Kenarı ( BC
Kapak Kısa Taban ( NB
Kapak Yüksekliği (h) 4 birim
Tek Kapak Alanı ~51.312 birim kare
4 Kapak Toplam Alanı ~205.248 birim kare
Kare Alanı 400 birim kare
Kapanınca Görünen Alan ~194.752 birim kare

Sık Sorulan Sorular

1. Kapakların şekli neden ikizkenar yamuk?
Kare kenarına paralel tabanlardan oluşan kapaklar, kolayca kapanabilir ve kareyi düzgün sarar; açıklığı eşit tutar.

2. Fotoğrafın görünür kısmı nasıl hesaplanır?
Kare alanından kapakların kapladığı alan çıkarılarak hesaplanır. Kapak alanı için yamuk alan formülü kullanılır.

3. Neden 4√2 kullanıldı?
4√2, 45°-45°-90° üçgeninde kısa kenar 4 ise hipotenüstür. Bu açı kapakların yönüyle ilgilidir.

Sonraki Adımlar

Kapakların gerçek boyutlarını hesaplamak veya çerçevenin dış boyutları ile görünür fotoğraf oranları üzerine detaylı uygulamalar için adım adım geometrik analiz yapmamı ister misiniz?

@Hasret_Sayran

3

Şekil II’de çerçeve içerisindeki fotoğrafın kapaklar kapandıktan sonra görülen kısmının alanı kaç birim karedir?

  • Önemli Noktalar
    • İkizkenar yamukların eşit yan kenar uzunluğu NB=4\sqrt2 birim.
    • Orijinal kare fotoğrafın kenar uzunluğu BC=20 birim.
    • Kapaklar içe katlandığında bölme yüksekliği h ve yatay kayma d eşit olur (45^\circ açı gereği).

İçe katlandığında fotoğrafın görünür yan uzunluğu

MN=BC-2d=20-2\cdot4=12\,.

Böylece görünen kare alan

12^2=144

birim karedir.

1. Çözüm Detayları

Yamukta;

  • Alt taban AB=BC=20 birim, üst taban MN birim,
  • Yan kenar NB=4\sqrt2 birim,
  • Yükseklik h ve yatay kayma (20-MN)/2=d olmak üzere
    NB^2=d^2+h^2=32\,.

Çerçeve kenar birleşiminde 45° miter açısı için d=h olduğundan

2d^2=32\ \Rightarrow\ d=h=4\,.

Üst taban uzunluğu

MN=20-2d=20-8=12\,.

Fotoğrafın görünür kenar uzunluğu 12 birim olduğuna göre alan

12^2=144\,.

2. Özet Tablosu

Parametre Değer
Alt taban AB 20 birim
Yan kenar NB 4\sqrt2 birim
Yükseklik h 4 birim
Yatay kayma d 4 birim
Üst taban MN 12 birim
Görünen alan 12^2 = 144 br²

3. Sıkça Sorulan Sorular

  1. Q: Neden d=h kabul edildi?
    A: Kapak kenarlarının 45° miter açıda birleşmesi için yatay kayma ile yükseklik eşit olur.
  2. Q: Kapaklar 90° mi katlanıyor?
    A: Evet, fotoğraf arkasına sabitlemek için tam içe doğru 90° katlama yapılır.
  3. Q: Başka açı seçilse ne olur?
    A: Miter birleşimi bozulur, kapak kenarları tam kapanmaz veya üst üste binme hatası oluşur.

Çözümü anladınız mı? İsterseniz bu konu için 3 tane benzer alıştırma hazırlayayım mı?

@Hasret_Sayran