|AB| = |AD| ve |BD| = 16 cm olmak üzere, Şekil-I’de verilen ABCD deltoidine eş olan üç tane deltoid Şekil-II’deki gibi birer kenarları çakışacak biçimde konumlandırılıyor.
Sarı boyalı bölgelerin çevresi Şekil-I’de 54 cm ve Şekil-II’de 94 cm olduğuna göre, Şekil-II’deki sarı boyalı bölgenin alanı kaç cm^2 dir?
A) 476
B) 480
C) 496
D) 500
E) 504
Deltoidin Alanı ve Özel Dik Üçgen Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Deltoidde simetri ekseni olan köşegen diğer köşegeni dik ortalar. Deltoidin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır (A = \frac{e \cdot f}{2}). Kenar uzunlukları dik üçgenlerdeki Pisagor bağıntısı (6-8-10 ve 8-15-17) ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Deltoidin Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
Deltoidin kenarlarına |AB| = |AD| = x ve |BC| = |CD| = y diyelim.
Şekil-I’deki çevre:
2x + 2y = 54 \implies x + y = 27\text{ cm}
Şekil-II’de 3 eş deltoid iki kenarı boyunca çakıştırılmıştır. Çakışan kenarlar içte kaldığından dış çevre, toplam çevreden çakışan kenarların toplam uzunluğu kadar eksilir:
3 \times 54 - 2 \cdot (\text{Çakışan İki Kenar}) = 94
162 - 94 = 68 \implies 2 \cdot (\text{Çakışan İki Kenar}) = 68 \implies \text{Çakışan İki Kenar Toplamı} = 34\text{ cm}
Şekilde çakışan kenarlar uzun kenarlar (y) olduğundan:
2y = 34 \implies y = 17\text{ cm}
x = 27 - 17 = 10\text{ cm}
Adım 2 — Deltoidin Köşegen Uzunluklarının Bulunması
Deltoidin köşegenleri [AC] ve [BD] dik kesişir ([AC] \perp [BD]). [AC] köşegeni [BD] köşegenini iki eşit parçaya böler:
\frac{|BD|}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}
Köşegenlerin kesişim noktasına H dersek, dik üçgenlerden Pisagor teoremi uygulanır:
- ABH dik üçgeninde (6-8-10 özel üçgeni):|AH| = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ cm}
- CBH dik üçgeninde (8-15-17 özel üçgeni):|CH| = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15\text{ cm}
Buradan diğer köşegen uzunluğu:
|AC| = |AH| + |CH| = 6 + 15 = 21\text{ cm}
Adım 3 — Şekil-II’deki Toplam Alanın Hesaplanması
Bir deltoidin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır:
\text{Alan}_1 = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{21 \cdot 16}{2} = 168\text{ cm}^2
Şekil-II’de üst üste binme olmaksızın 3 eş deltoid birleştirildiğinden toplam alan:
\text{Toplam Alan} = 3 \times 168 = 504\text{ cm}^2
CEVAP: E) 504 (\text{Alan} = 504\text{ cm}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çokgenler birleştirildiğinde çevre çakışan kenarlar kadar azalırken, alanlar doğrudan toplanır. 8-15-17 ve 6-8-10 gibi temel Pisagor üçgenlerini tanımak köşegen uzunluğunu saniyeler içinde bulmanızı sağlar.