Çatı katındaki odasının ikizkenar dik üçgen biçimli duvarının olduğu kısma önden görünümü dikdörtgen olan bir dolap almak isteyen Elif, bilgisayarında duvarın şekli ile almak istediği dolabı çizmiş ve bazı ölçümleri Şekil 1’deki gibi cm türünden yapmıştır. Ardından dolabın kenarlarını aynı oranda büyüterek Şekil 2’deki görüntüyü oluşturmuştur.
Şekil 2’deki dolabı almaya karar veren Elif’in alacağı dolabın kenarları ilk duruma göre hangi oranda büyümüştür?
A) \frac{3}{2}
B) \frac{4}{3}
C) \frac{3}{4}
D) \frac{2}{3}
E) \frac{1}{2}
İkizkenar Dik Üçgen Şeklindeki Duvarda Dolabın Büyütülme Oranı
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- İkizkenar dik üçgende (45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgeni) dik kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Eğimli hipotenüs doğrusuna değen dikdörtgenin solunda kalan boşluk da bir 45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgen oluşturur.
- Benzerlik / Büyütme Oranı: k = \frac{\text{Yeni Kenar Uzunluğu}}{\text{Eski Kenar Uzunluğu}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Duvarın Toplam Boyutlarını Bulma (Şekil 1)
- Duvar, taban açısı 45^\circ olan bir ikizkenar dik üçgendir.
- Şekil 1’de dolabın yüksekliği 100\text{ cm} olduğundan, dolabın solunda kalan dik üçgenin dikey kenarı 100\text{ cm}'dir.
- Bu üçgen 45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgen olduğundan, sol tarafındaki taban uzunluğu da dikey yüksekliğe eşit olup 100\text{ cm} olur.
- Dolabın genişliği 60\text{ cm} ve dolabın sağından duvara kadar olan mesafe 80\text{ cm} olarak verilmiştir.
- Duvarın toplam taban uzunluğu:\text{Taban} = 100\text{ cm} + 60\text{ cm} + 80\text{ cm} = 240\text{ cm}
Adım 2 — Şekil 2’deki Dolap Boyutlarını k Cinsinden İfade Etme
- Dolabın kenarları k katına çıkarıldığında:
- Yeni yükseklik = 100 \cdot k\text{ cm}
- Yeni genişlik = 60 \cdot k\text{ cm}
- Şekil 2’de dolap sağdaki dikey duvara tamamen yaslanmıştır. Dolayısıyla dolabın solundaki taban boşluğu:\text{Sol Taban Boşluğu} = 240 - 60k
Adım 3 — İkizkenar Dik Üçgen Eşitliği ile k Değerini Hesaplama
- Şekil 2’de dolabın sol üst köşesi çatının eğimli çizgisine (hipotenüse) değmektedir.
- Dolabın solundaki üçgen 45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgen olduğundan, dikey yükseklik sol taban boşluğuna eşit olmalıdır:100k = 240 - 60k160k = 240k = \frac{240}{160} = \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \mathbf{\frac{3}{2}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 45^\circ-45^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgeni
- Tanım: İki dik kenarı birbirine eşit olan dik üçgendir.
- Bu problemde: Çatının eğim açısı 45^\circ olduğu için dolabın solunda kalan her dik üçgenin yatay tabanı ile düşey yüksekliği birbirine eşit çıkmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dolabın Solundaki Boşluğu İhmal Etmek
- Yanlış: Tabanı sadece 60 + 80 = 140\text{ cm} olarak almak.
- Doğru: Dolabın sol üst köşesinin hipotenüse değdiği noktadan tabana kadar olan 100\text{ cm}'lik mesafeyi de tabana eklemek.
- Neden yanlış: Dolap duvara sıfır yerleştirilmediği için solunda 45^\circ açılı bir boşluk kalır.
Benzer geometri ve üçgende benzerlik sorularıyla pekiştirme yapmak ister misin?
cevap Adana değil ki Edirne
İkizkenar Dik Üçgen Şeklindeki Duvarda Dolabın Büyüme Oranı
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- İkizkenar dik üçgende (45^\circ-45^\circ-90^\circ) dik kenarlar eşittir.
- Bir büyüklüğün büyüme (artış) oranı:\text{Büyüme Oranı} = \frac{\text{Yeni Değer} - \text{İlk Değer}}{\text{İlk Değer}} = \frac{\text{Artış Miktarı}}{\text{İlk Değer}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Duvarın Boyutlarını Bulma (Şekil 1)
- Duvar 45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgenidir.
- Şekil 1’de dolabın sol üst köşesi hipotenüse değdiği için solunda kalan üçgen de 45^\circ-45^\circ-90^\circ dik üçgenidir.
- Dolabın yüksekliği 100\text{ cm} olduğundan, solundaki yatay mesafe de 100\text{ cm} olur.
- Dolabın genişliği 60\text{ cm} ve sağ boşluk 80\text{ cm}'dir.
- Duvarın toplam taban uzunluğu:\text{Taban} = 100\text{ cm} + 60\text{ cm} + 80\text{ cm} = 240\text{ cm}
Adım 2 — Şekil 2’deki Dolabın Boyutlarını Hesaplama
- Dolabın kenarları k katına çıkmış olsun.
- Yeni yükseklik = 100k\text{ cm}, yeni genişlik = 60k\text{ cm} olur.
- Dolap sağ duvara yaslandığından, solunda kalan boşluk:\text{Sol Boşluk} = 240 - 60k
- Sol üst köşe hipotenüse değdiğinden sol boşluk dolabın yeni yüksekliğine eşittir:100k = 240 - 60k160k = 240 \implies k = \frac{240}{160} = \frac{3}{2}
- Yani dolabın yeni kenarları:
- Yükseklik = 100 \times \frac{3}{2} = 150\text{ cm}
- Genişlik = 60 \times \frac{3}{2} = 90\text{ cm}
Adım 3 — Büyüme (Artış) Oranını Hesaplama
- Soru kökünde dolabın kenarlarının kaç katına çıktığı (k = \frac{3}{2}) değil, hangi oranda büyüdüğü (artış oranı) sorulmaktadır.
- Yükseklikteki artış miktarı:\text{Artış} = 150\text{ cm} - 100\text{ cm} = 50\text{ cm}
- İlk duruma göre büyüme oranı:\text{Büyüme Oranı} = \frac{50\text{ cm}}{100\text{ cm}} = \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \mathbf{\frac{1}{2}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katına Çıkma ile Büyüme Oranı Arasındaki Fark
- Tanım: Bir değer x’ten k \cdot x’e çıktığında k katına çıkmış olur; ancak büyüme (artış) oranı \frac{k \cdot x - x}{x} = k - 1 ile hesaplanır.
- Bu problemde: Kenarlar \frac{3}{2} katına çıkmıştır (1{,}5 katı), dolayısıyla büyüme oranı \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} (\%50) olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Katına Çıkma” ile "Büyüme Oranı"nı Karıştırmak
- Yanlış: k = \frac{3}{2} bulup doğrudan \text{A} seçeneğini işaretlemek.
- Doğru: Soru kökündeki “hangi oranda büyümüştür?” ifadesinin net artış oranını sorduğunu fark edip \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} sonucuna ulaşmak.
- Neden yanlış: \frac{3}{2} oranı yeni durumun eski duruma oranıdır; büyüme oranı ise sadece eklenen artışın ilk duruma oranıdır.
Bu tarz soru kökü tuzakları içeren başka benzer TYT soruları çözmek ister misin?