Sekil 1l tası, ABC üçgensel bölgesinin agırik mer nerkezi olmak gibi [AD) boyunca makasla kesildikten sonra mavi renge

YKS TYT
1

Sekil 1l
[ADI L (BCI, IBCI 36 cm, lABI =30 cm vo G nok-
tası, ABC üçgensel bölgesinin agırik mer
nerkezi olmak
üzere, ABC Üçgeni biçimindeki bir kâğt Şekil l’deká
gibi [AD) boyunca makasla kesildikten sonra mavi
renge boyalh olan üçgenin A noktası, G noktası ile
çakışacak şekilde ok ile gósterilen yönde öteleniyor.
Şekil l’de oluşan ABD, ve GD,C üçgenlerinin
ağırlik merkezlerl sIrasıyla G, ve G, olduğuna
göre, aşağida verilenlerden hangisi yanıştır?
A) IAGI 16 cm
B) IGD,l8 cm
C) ID,Cla 18 cm
D)

IG,Gl =6cm

E) IG,G,l i8 om

Sekil 1l ADI L (BCI, IBCI 36 cm, lABI =30 cm vo G nok- tası, ABC üçgensel bölgesinin...
Sekil 1l ADI L (BCI, IBCI 36 cm, lABI =30 cm vo G nok- tası, ABC üçgensel bölgesinin...443×1024 47.4 KB

2

Şekil I ve Şekil II’deki Geometrik Dönüşümlere Göre Seçeneklerin Değerlendirilmesi

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \triangle ABC Üçgeninin Temel Uzunluklarının Bulunması

  • G noktası ağırlık merkezi olup [AD] \perp [BC] olduğundan, [AD] doğru parçası BC kenarına ait kenarortay ve yüksekliktir.
  • D noktası [BC]'nin orta noktasıdır:
    |BD| = |DC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}
  • ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (18-24-30 özel dik üçgeni / 3-4-5’in 6 katı) uygulanır:
    |AD| = \sqrt{30^2 - 18^2} = 24\text{ cm}
  • Ağırlık merkezi kenarortayı 1:2 oranında böldüğü için:
    |AG| = \frac{2}{3} \times 24 = 16\text{ cm}
    |GD_1| = \frac{1}{3} \times 24 = 8\text{ cm}

Adım 2 — Şekil II’deki Yeni Konumların Koordinat Sistemi ile Belirlenmesi
D_1 noktasını orijin (0, 0) kabul edelim:

  • D_1 = (0, 0)
  • A = (0, 24)
  • B = (-18, 0)
  • G = (0, 8)

Sağdaki mavi üçgen, A köşesi G(0, 8) noktasına gelecek şekilde aşağıya doğru ötelendiğinden:

  • D_2 = (0, 8 - 24) = (0, -16)
  • C = (18, -16)
  • Buradan |D_2C| = 18\text{ cm} olur.

Adım 3 — G_1 ve G_2 Ağırlık Merkezlerinin Koordinatlarının Hesaplanması

  • ABD_1 üçgeninin ağırlık merkezi (G_1):
    G_1 = \left(\frac{0 + (-18) + 0}{3}, \frac{24 + 0 + 0}{3}\right) = (-6, 8)
  • GD_2C üçgeninin ağırlık merkezi (G_2):
    G_2 = \left(\frac{0 + 0 + 18}{3}, \frac{8 + (-16) + (-16)}{3}\right) = (6, -8)

Adım 4 — Uzunlukların ve Seçeneklerin Doğrulanması

  • |G_1G| uzunluğu:
    |G_1G| = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (8 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6\text{ cm}
  • |G_1G_2| uzunluğu:
    |G_1G_2| = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (-8 - 8)^2} = \sqrt{12^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ cm}

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. |AG| = 16\text{ cm} — Doğru (24 \times \frac{2}{3} = 16\text{ cm})
:white_check_mark: B. |GD_1| = 8\text{ cm} — Doğru (24 \times \frac{1}{3} = 8\text{ cm})
:white_check_mark: C. |D_2C| = 18\text{ cm} — Doğru (|DC| = 18\text{ cm} ötelenmiştir)
:white_check_mark: D. |G_1G| = 6\text{ cm} — Doğru (G_1(-6,8) ile G(0,8) arası mesafe 6\text{ cm})
:cross_mark: E. |G_1G_2| = 18\text{ cm} — Yanlış (Doğru değer 20\text{ cm} olmalıdır)

Adım 6 — Son Doğrulama
Ağırlık merkezleri G_1(-6, 8) ve G_2(6, -8) arasındaki yatay fark 12\text{ cm}, düşey fark 16\text{ cm} olup, 12-16-20 dik üçgeninden |G_1G_2| = 20\text{ cm} olarak bulunur. E seçeneğindeki 18\text{ cm} ifadesi yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) |G_1G_2| = 18\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Ağırlık merkezi ve analitik geometri uygulamalarıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?