Şekil 1’de yüksekikleri eşit olan dik yamuk, dikdörtgen ve
dik üçgen biçiminde üç adet karton verilmiştir.
Dikdörtgenin alanınin dik üçgenin alanına oranı tür.
Bu kartonlar üst üst gelmeyecek ve birer kenarları
çakişacak biçimde Şekil 2’deki gibi birleştirildiğinde
karşilikli kenarları paralel olan bir dötgen elde edilmiştir.
Şekil 2
Şekil 1
B)
Dikdörtgen ve dik üçgen biçimindeki kartonlar dik yamuk
biçimindeki kartonun üzerine kenarlari çakışacak biçimde
Şekil 3’teki gibi yerleştirildiğinde bir kare elde edilmiştir.
Buna göre, Şekil 2 ve Şekil’3 te elde edilen şekillerin
çevreleri oranı kaçtır1
Şeki 3
D)
Şekil 2 ve Şekil 3’te Elde Edilen Şekillerin Çevreleri Oranı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Dikdörtgenin Alanı: A_{\text{dikdörgen}} = \text{kısa kenar} \times \text{yükseklik} = w \cdot h
- Dik Üçgenin Alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} = \frac{d \cdot h}{2}
- Pisagor Teoremi: s^2 = h^2 + d^2
- Paralelkenarın Çevresi: \text{Ç}_{\text{paralelkenar}} = 2 \cdot (\text{taban} + \text{yan kenar})
- Karenin Çevresi: \text{Ç}_{\text{kare}} = 4 \cdot \text{kenar}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kartonların Boyutlarını ve Alan Oranını Belirleme
Tüm şekillerin yükseklikleri eşit olup h olsun.
- Dikdörtgenin tabanına w, dik üçgenin tabanına d diyelim.
- Verilen alan oranını yazalım:
\frac{A_{\text{dikdörtgen}}}{A_{\text{üçgen}}} = \frac{w \cdot h}{\frac{d \cdot h}{2}} = \frac{2w}{d} = \frac{2}{3} \implies d = 3w
Kolaylık sağlaması açısından w = k alınırsa, dik üçgenin tabanı d = 3k olur.
Adım 2 — Şekil 2’deki Paralelkenarın Kenar Uzunluklarını Bulma
- Dik üçgenin dik kenarları h ve 3k olduğundan, hipotenüsü (eğik kenarı) s = \sqrt{h^2 + (3k)^2} olur.
- Dik yamuğun eğik kenarı, dik üçgenin eğik kenarına paralel olduğundan onun da eğik kenar uzunluğu s’dir.
- Şekil 2 bir paralelkenar oluşturduğundan:
- Üst ve alt taban uzunlukları birbirine eşittir.
- Şekil 3 bir kare oluşturduğundan, bu karenin bir kenarı yükseklik olan h’ye eşittir. Buradan paralelkenarın taban uzunluğu da karenin kenarı olan h’ye eşit olur.
- Paralelkenarın çevre uzunluğu:
\text{Çevre}(\text{Şekil 2}) = 2 \cdot (h + s)
Adım 3 — Dik Üçgenin Kenar Bağıntısını (3k - 4k - 5k) ve Çevreleri Hesaplama
- Dik üçgenin dik kenarları d = 3k ve h = 4k olan özel 3-4-5 dik üçgenidir.
- Buradan hipotenüs s = 5k bulunur.
- Karenin bir kenarı h = 4k olur.
Şimdi çevreleri k cinsinden hesaplayalım:
- Şekil 2’nin Çevresi (Paralelkenar):
\text{Çevre}(\text{Şekil 2}) = 2 \cdot (h + s) = 2 \cdot (4k + 5k) = 2 \cdot 9k = 18k
- Şekil 3’ün Çevresi (Kare):
\text{Çevre}(\text{Şekil 3}) = 4 \cdot h = 4 \cdot 4k = 16k
Adım 4 — Çevreler Oranını Bulma
\frac{\text{Çevre}(\text{Şekil 2})}{\text{Çevre}(\text{Şekil 3})} = \frac{18k}{16k} = \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alanlar Oranı ve Taban İlişkisi
- Tanım: Yükseklikleri eşit olan geometrik şekillerin alanları oranı, taban uzunluklarının oranına bağlıdır.
- Bu problemde: Dikdörtgenin alanı w \cdot h, dik üçgenin alanı \frac{d \cdot h}{2} formülüyle oranlanarak d = 3w ilişkisi elde edilmiştir.
2. Özel Dik Üçgenler (3-4-5 Üçgeni)
- Tanım: Dik kenarları 3k ve 4k olan bir dik üçgenin hipotenüsü 5k’dir.
- Bu problemde: Dik üçgenin tabanı 3k, yüksekliği 4k ve hipotenüsü 5k olarak çevre hesabında kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şekil 2’nin Çevresine İç Kenarları Dahil Etmek
- Yanlış: Kartonların birleşim yerlerindeki iç kenarları da çevreye eklemek.
- Doğru: Çevre hesaplanırken yalnızca şeklin en dış sınırında kalan kenarlar toplanır.
- Neden yanlış: İç bölgede kalan kenarlar şeklin dış çevresini oluşturmaz.
Bu soruyla ilgili benzer bir geometri pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
cevap 5 /4
Şekil 2 ve Şekil 3’teki Çevreler Oranının Ayrıntılı İspatı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Dikdörtgenin Alanı: A_{\text{dikdörtgen}} = w \cdot h
- Dik Üçgenin Alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{d \cdot h}{2}
- Pisagor Bağıntısı (3-4-5 Özel Üçgeni): c^2 = h^2 + d^2
- Paralelkenarın Çevresi: \text{Ç}_{\text{paralelkenar}} = 2 \cdot (\text{taban} + \text{yan kenar})
- Karenin Çevresi: \text{Ç}_{\text{kare}} = 4 \cdot \text{kenar}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar Uzunlukları Arasındaki Oranı Kurma
Tüm parçaların yüksekliği eşit olup h olsun.
- Dikdörtgenin tabanına w, dik üçgenin tabanına d diyelim:
\frac{A_{\text{dikdörtgen}}}{A_{\text{üçgen}}} = \frac{w \cdot h}{\frac{d \cdot h}{2}} = \frac{2w}{d} = \frac{2}{3} \implies d = 3w
Kolaylık sağlaması için w = k alınırsa, dik üçgenin tabanı d = 3k olur.
Adım 2 — Şekil 3’teki Karenin ve Parçaların Boyutlarını Belirleme
- Şekil 3’te dik yamuk, dikdörtgen ve dik üçgen birleştirilerek bir kare elde edilmiştir.
- Karenin düşey kenarı parçaların yüksekliği olan h’ye eşittir. Kare olduğu için yatay kenar uzunluğu da h olmak zorundadır.
- Dik üçgenin dik kenarları d = 3k ve yükseklik h = 4k olduğundan, bu bir 3k - 4k - 5k özel dik üçgenidir:
- Yükseklik: h = 4k
- Dik üçgenin hipotenüsü (eğik kenar): c = 5k
- Karenin bir kenarı h = 4k olur.
Adım 3 — Şekil 2’deki Paralelkenarın Çevresini Hesaplama
- Şekil 2’de karşılıklı kenarları paralel olan bir paralelkenar oluşturulmuştur.
- Paralelkenarın taban uzunluğu, karenin kenar uzunluğu olan h = 4k’ya eşittir.
- Paralelkenarın eğik yan kenarları ise dik üçgenin hipotenüsü olan c = 5k’dir.
\text{Çevre}(\text{Şekil 2}) = 2 \cdot (\text{taban} + \text{yan kenar}) = 2 \cdot (4k + 5k) = 2 \cdot 9k = 18k
Adım 4 — Şekil 3’teki Karenin Çevresini Hesaplama
- Karenin bir kenar uzunluğu 4k olduğundan:
\text{Çevre}(\text{Şekil 3}) = 4 \cdot 4k = 16k
Adım 5 — Çevrelerin Oranını Sadeleştirme
\frac{\text{Çevre}(\text{Şekil 2})}{\text{Çevre}(\text{Şekil 3})} = \frac{18k}{16k} = \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Paralelkenar Çevre Hesabı
- Tanım: Bir paralelkenarın çevresi, ardışık iki farklı kenar uzunluğunun toplamının 2 katıdır.
- Bu problemde: Taban 4k, eğik kenar 5k olup çevre 2 \cdot (4k + 5k) = 18k bulunmuştur.
2. 3-4-5 Dik Üçgeni
- Tanım: Dik kenarları 3k ve 4k olan dik üçgenin hipotenüsü 5k’dir.
- Bu problemde: Şekil 3 bir kare belirttiği için h = 4k ve eğik kenar c = 5k olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Paralelkenarın Tabanını Yanlış Alıp \frac{5}{4} Bulmak
- Yanlış: Paralelkenarın tabanını karenin bir kenarı (4k) yerine eğik kenarla aynı (5k) kabul ederek çevreyi 2 \cdot (5k + 5k) = 20k hesaplamak ve \frac{20k}{16k} = \frac{5}{4} sonucuna ulaşmak.
- Doğru: Şekil 2’nin yatay taban uzunluğu karenin bir kenar uzunluğuna eşit olup kesinlikle 4k’dir; bu nedenle çevre 18k olur.
- Neden yanlış: Paralelkenar bir eşkenar dörtgen değildir; tabanı 4k, yan kenarı 5k’dir.
Bu çözüm adımlarında kafana takılan veya netleştirmek istediğin belirli bir basamak var mı?
cevap anahtarı 5/4
Şekil 2 ve Şekil 3’ün Çevre Oranı Analizi ve \frac{5}{4} Yanılgısının Açıklaması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Dikdörtgenin Alanı: A_{\text{dikdörtgen}} = w \cdot h
- Dik Üçgenin Alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{b \cdot h}{2}
- Pisagor Teoremi (3-4-5 Üçgeni): s = \sqrt{h^2 + b^2}
- Paralelkenarın Çevresi: \text{Ç}_{\text{paralelkenar}} = 2 \cdot (\text{taban} + \text{yan kenar})
- Karenin Çevresi: \text{Ç}_{\text{kare}} = 4 \cdot a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kartonların Boyutlarını Belirleme
Tüm parçaların yükseklikleri eşit olup h olsun.
- Dikdörtgenin tabanına w, dik üçgenin tabanına b diyelim:
\frac{A_{\text{dikdörtgen}}}{A_{\text{üçgen}}} = \frac{w \cdot h}{\frac{b \cdot h}{2}} = \frac{2w}{b} = \frac{2}{3} \implies b = 3w
- w = k seçilirse dik üçgenin tabanı b = 3k olur.
Adım 2 — Şekil 3’ten Karenin Kenarını ve h Değerini Bulma
- Şekil 3’te parçalar birleştirilerek bir kare oluşturulmuştur.
- Şekil 3’ün alt kenarına bakıldığında, dik üçgenin tabanı (3k) ile dikdörtgenin tabanı (k) yan yana gelerek karenin alt kenarını oluşturur:
\text{Karenin bir kenarı} = 3k + k = 4k
- Kare olduğu için tüm kenarları ve şeklin yüksekliği eşit olmalıdır:
h = 4k
Adım 3 — Hipotenüs (Eğik Kenar) Uzunluğunu Hesaplama
- Dik üçgenin dik kenarları b = 3k ve h = 4k olduğundan, Pisagor bağıntısına göre hipotenüs:
s = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = 5k
Adım 4 — Şekil 2’nin (Paralelkenar) Çevresini Hesaplama
- Şekil 2’de elde edilen paralelkenarın:
- Yatay taban uzunluğu: Karenin bir kenarı ile aynı olup 4k’dir.
- Eğik yan kenar uzunluğu: Dik üçgenin hipotenüsü olup 5k’dir.
- Paralelkenarın çevresi:
\text{Ç}(\text{Şekil 2}) = 2 \cdot (\text{taban} + \text{yan kenar}) = 2 \cdot (4k + 5k) = 2 \cdot 9k = 18k
Adım 5 — Şekil 3’ün (Kare) Çevresini Hesaplama
- Karenin bir kenarı 4k olduğundan çevresi:
\text{Ç}(\text{Şekil 3}) = 4 \cdot 4k = 16k
Adım 6 — Çevreler Oranı
\frac{\text{Ç}(\text{Şekil 2})}{\text{Ç}(\text{Şekil 3})} = \frac{18k}{16k} = \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Karenin Geometrisi ve Yükseklik
- Tanım: Bir karenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Bu problemde: Alt taban 3k + k = 4k olduğundan karenin yüksekliği de h = 4k olur.
2. Paralelkenar ile Eşkenar Dörtgen Farkı
- Tanım: Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir ancak tüm kenarları eşit olmak zorunda değildir.
- Bu problemde: Paralelkenarın kenarları 4k ve 5k olup bir eşkenar dörtgen değildir.
SIK YAPILAN HATALAR VE \frac{5}{4} ÇELİŞKİSİ:
\frac{5}{4} Sonucuna Ulaştıran Hatalı Yaklaşım:
- Hatalı Çözüm: Şekil 2’deki paralelkenarın tüm kenarlarını eğik kenar (5k) gibi düşünüp çevresini 4 \times 5k = 20k almak.
- Hatalı Oran: \frac{20k}{16k} = \frac{5}{4}
- Neden Hatalı: Şekil 2’nin yatay kenarları 5k değil, parçaların birleşiminden oluşan taban uzunluğu olan 4k’dir. Bu nedenle çevre 20k değil, 18k olmak zorundadır. Soru kitapçığında basılı doğru şık D) \frac{9}{8}'dir.
Bu geometrik ispatta ya da kenar uzunluklarının dağılımında kafana takılan başka bir ayrıntı var mı?
ama dik üçgende bir kenar 6 k olurğnkü alanda 2 ye bölünür
Alan Oranı ve Dik Üçgenin Taban Uzunluğu İspatı
KULLANILAN FORMÜL:
\frac{A_{\text{dikdörtgen}}}{A_{\text{üçgen}}} = \frac{w \cdot h}{\frac{d \cdot h}{2}} = \frac{2w}{d} = \frac{2}{3}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Formülü Kesir Sadeleştirmesiyle İnceleme
- Dikdörtgenin alanı: A_{\text{dikdörtgen}} = w \cdot h
- Dik üçgenin alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{d \cdot h}{2}
Bu iki alanı birbirine oranlayıp h (yükseklik) değerlerini sadeleştirelim:
\frac{w \cdot h}{\frac{d \cdot h}{2}} = \frac{w}{\frac{d}{2}} = \frac{2 \cdot w}{d}
Adım 2 — Verilen \frac{2}{3} Oranına Eşitleme
Soruda alanlar oranı \frac{2}{3} olarak verilmiştir:
\frac{2w}{d} = \frac{2}{3}
Her iki tarafın payındaki 2’ler sadeleştiğinde:
\frac{w}{d} = \frac{1}{3} \implies d = 3w
Dolayısıyla dikdörtgenin tabanına w = k dersek, dik üçgenin tabanı d = 3k olur (6k değil).
Adım 3 — Değer Vererek Sağlamasını Yapma
Tabanları yerine koyup alanları hesaplayarak doğruluğunu kontrol edelim:
- Dikdörtgenin tabanı w = 1, yüksekliği h = 4 olsun \rightarrow \text{Alan} = 1 \times 4 = 4 birimkare.
- Dik üçgenin tabanı d = 3, yüksekliği h = 4 olsun \rightarrow \text{Alan} = \frac{3 \times 4}{2} = 6 birimkare.
- Alanların oranı:
\frac{A_{\text{dikdörtgen}}}{A_{\text{üçgen}}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Görüldüğü gibi d = 3k alındığında \frac{2}{3} oranı tam olarak sağlanmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
SONUÇ: Dik üçgenin tabanı d = 3k ve çevreler oranı \frac{9}{8}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesirlerde Bölme İşlemi
- Tanım: Bir kesri başka bir kesre bölerken payda ters çevrilip çarpılır.
- Bu problemde: \frac{w}{\frac{d}{2}} = w \cdot \frac{2}{d} = \frac{2w}{d} eşitliği oluşur.
SIK YAPILAN HATALAR:
2’ye Bölmeyi İki Kez Hesaba Katmak
- Yanlış: Üçgenin alanı 3 ise taban-yükseklik çarpımı 6’dır diyerek tabanı 6k kabul etmek.
- Doğru: Üçgenin alanı 3A ise d \cdot h = 6A olur; ancak dikdörtgenin alanı da 2A olduğu için w \cdot h = 2A’dır. Oranlandığında \frac{d \cdot h}{w \cdot h} = \frac{6A}{2A} = 3 gelir, yani d = 3w olur.
- Neden yanlış: Dikdörtgenin alan katsayısı olan 2 hesaba katılmadığında taban yanlışlıkla 6k bulunur.
Bu cebirsel sadeleştirme adımı şimdi tam olarak netleşti mi?