Şekil 1'de verilen kare dik prizmalardan 4 tanesi Şekil 2'de gibi yerleştirilerek bir kare dik prizma elde edilmiştir

Question Answer
1

Şekil 1’de verilen kare dik prizmalardan 4 tanesi Şekil 2’de gibi yerleştirilerek bir kare dik prizma elde edilmiştir.
Şekil 1’de verilen prizmanın yüzey alanı 120 birimkare olduğuna göre Şekil 2’deki prizmanın hacmi kaç birimküptür?
A) 288
B) 312
C) 324
D) 336
E) 388

Şekil 1'de verilen kare dik prizmalardan 4 tanesi Şekil 2'de gibi yerleştirilerek bir...
Şekil 1'de verilen kare dik prizmalardan 4 tanesi Şekil 2'de gibi yerleştirilerek bir...1024×768 141 KB

2

Kare Dik Prizmada Alan ve Hacim Bağıntıları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kare dik prizmanın taban ayrıtı a, yüksekliği h olmak üzere yüzey alanı A = 2a^2 + 4ah, hacmi ise V = a^2 \cdot h formülüyle hesaplanır. Parçalardan bir bütün oluşturulduğunda toplam hacim, parçaların hacimleri toplamına eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Prizmanın Boyutları Arasındaki Bağıntının Belirlenmesi
Şekil 2’de 3 adet eş prizma dikey olarak yan yana konulmuş ve üzerlerine 1 adet prizma yatay olarak yerleştirilmiştir.

  • Prizmanın kare olan taban ayrıtına a, yüksekliğine (kalınlığına) h diyelim.
  • 3 tanesi yan yana konulduğunda oluşan genişlik, üstteki prizmanın bir ayrıtına tam oturduğundan:
a = 3h

Bu durumda Şekil 2’nin tabanı a \times a (3h \times 3h) boyutlarında bir kare, toplam yüksekliği ise a + h = 4h olan bir kare dik prizma olur.

Adım 2 — Yüzey Alanından h ve a Değerlerinin Bulunması
Şekil 1’deki bir adet prizmanın yüzey alanı formülünde a = 3h eşitliği yerine yazılır:

A = 2a^2 + 4ah = 2(3h)^2 + 4(3h)(h) = 18h^2 + 12h^2 = 30h^2
30h^2 = 120 \implies h^2 = 4 \implies h = 2\text{ birim}

Buradan taban ayrıtı a = 3 \cdot 2 = 6\text{ birim} bulunur.

Adım 3 — Şekil 2’deki Prizmanın Hacminin Hesaplanması
Şekil 1’deki bir adet prizmanın hacmi:

V_1 = a^2 \cdot h = 6^2 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72\text{ birimküp}

Şekil 2’deki prizma bu eş prizmalardan 4 tanesinin birleşimiyle oluştuğundan toplam hacim:

V_{\text{toplam}} = 4 \cdot V_1 = 4 \cdot 72 = 288\text{ birimküp}

:white_check_mark: CEVAP: A) 288 (V = 288\text{ birimküp})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Katı cisimlerin birleştirilmesiyle oluşan yeni yapının hacmi, cisimlerin ayrı ayrı hacimlerinin toplamına daima eşittir; dolayısıyla Şekil 2’nin boyutlarını tek tek çarpmak yerine 1 tanesinin hacmini bulup 4 ile çarpmak işlem kolaylığı sağlar ve hata riskini ortadan kaldırır.