Şekil 1'de ikişer kenarları çakışık olan iki kare verilmiştir. Buna göre, AE / EB oranı kaçtır?

YKS TYT
1

Şekil 1’de ikişer kenarları çakışık olan iki kare verilmiştir.
Küçük kare Şekil 2’deki gibi E köşesi etrafında saat yönünde bir miktar döndürülmüş ve F köşesi [BC] kenarının orta noktasına gelmiştir.
Buna göre, \frac{|AE|}{|EB|} oranı kaçtır?

Şekil 1'de ikişer kenarları çakışık olan iki kare verilmiştir.
Şekil 1'de ikişer kenarları çakışık olan iki kare verilmiştir.833×800 66.2 KB

2

Karenin Dönme Hareketi ve Kenar Oranı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Dönme Dönüşümü Özelliği: Bir şekil bir nokta etrafında döndürüldüğünde kenar uzunlukları değişmez:
    |EF| = |EF'|
  • Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
    |EB|^2 + |BF'|^2 = |EF'|^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar Uzunluklarını Değişkenlerle Tanımlama
Büyük karenin bir kenar uzunluğuna k, küçük karenin bir kenar uzunluğuna a diyelim.

  • Şekil 1’de küçük karenin kenarı [AE] olduğundan:
    |AE| = a
  • Büyük karenin kenarı [AB] olduğundan:
    |EB| = |AB| - |AE| = k - a
  • Küçük karenin bir kenarı da [EF] olduğundan:
    |EF| = a

Adım 2 — Dönme Hareketi Sonrası Uzunlukları Belirleme
Küçük kare E köşesi etrafında döndürüldüğünde kenar uzunluğu korunur:

|EF'| = |EF| = a

F' noktası [BC] kenarının orta noktası olarak verildiğinden:

|BF'| = \frac{|BC|}{2} = \frac{k}{2}

Adım 3 — \triangle EBF' Dik Üçgeninde Pisagor Teoremini Uygulama
Büyük karenin B köşesi 90^\circ olduğundan \triangle EBF' bir dik üçgendir:

|EB|^2 + |BF'|^2 = |EF'|^2
(k - a)^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = a^2

Eşitliği açıp düzenleyelim:

k^2 - 2ak + a^2 + \frac{k^2}{4} = a^2
k^2 + \frac{k^2}{4} = 2ak
\frac{5k^2}{4} = 2ak

k \neq 0 olduğundan her iki tarafı k’ye bölelim:

a = \frac{5}{8}k

Adım 4 — İstenen Oranı Hesaplama

  • |AE| = a = \frac{5}{8}k
  • |EB| = k - a = k - \frac{5}{8}k = \frac{3}{8}k

Buradan oran:

\frac{|AE|}{|EB|} = \frac{\frac{5}{8}k}{\frac{3}{8}k} = \frac{5}{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{\dfrac{5}{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dönme Hareketi: Bir şeklin dönmesi sonucunda biçimi ve kenar uzunlukları değişmez (izometri). Dönme merkezi E olduğundan, E noktasına bağlı olan [EF] doğru parçasının boyu dönme sonrası [EF'] olarak aynı kalır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Dönme hareketi sırasında E noktasının da yer değiştirdiğini varsaymak veya |EF'| uzunluğunu karenin köşegeniyle karıştırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: E noktası dönme merkezidir ve [EF] küçük karenin bir kenarı olduğu için |EF'| de doğrudan karenin bir kenar uzunluğuna (a) eşittir.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için dönme açısının trigonometrik değerini bulmaya yönelik benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

3

@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

Karenin Dönme Hareketi — Kısa Çözüm

Büyük karenin bir kenarına k, küçük karenin bir kenarına a diyelim:

  • |AE| = a
  • |EB| = k - a
  • |EF'| = a (Dönme sonucu kenar uzunluğu değişmez)
  • |BF'| = \frac{k}{2} (F' orta nokta olduğu için)

\triangle EBF' dik üçgeninde Pisagor bağıntısı:

|EB|^2 + |BF'|^2 = |EF'|^2
(k - a)^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = a^2
k^2 - 2ak + a^2 + \frac{k^2}{4} = a^2
\frac{5k^2}{4} = 2ak \implies a = \frac{5}{8}k

Buradan uzunluklar:

  • |AE| = a = \frac{5}{8}k
  • |EB| = k - a = \frac{3}{8}k
\frac{|AE|}{|EB|} = \frac{\frac{5}{8}k}{\frac{3}{8}k} = \frac{5}{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{\dfrac{5}{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bu çözüme dair aklına takılan herhangi bir adım var mı?