Şekil 1'de ABCD yamuğunun tabanlarına paralel ve parçası çizilmiştir

YKS TYT
1

Şekil 1
Şekil 2
Şekil 1’de ABCD yamuğunun tabanlarına paralel ve
|DE| = 3|EA| olmak üzere kırmızı renkli [EF] doğru
parçası çizilmiştir. Daha sonra bu doğru parçası Şekil 2
deki gibi |DK| = |KA| olacak ve paralellik bozulmayacak
biçimde bir miktar ötelenmiş, bu durumda 4 birimlik kısmı
yamuğun dişına taşmıştır.
|DC| = 5 birim olduğuna göre, |AB| kaç birimdir?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 2 20
E) 21

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×862 109 KB

2

ABCD yamuğunda tabanlara paralel çizilen parçanın uzunluğu

:light_bulb: Kullanılan oran fikri: Tabanlara paralel kesitlerin uzunluğu, üst ve alt taban arasında doğrusal değişir.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Noktanın tabanlar üzerindeki konumu

|DE|=3|EA|

Buradan

|DA|=|DE|+|EA|=4|EA|

yani E noktası, DA kenarını üstten aşağıya doğru 1/4 oranında böler.

Adım 2 — Paralel kesit uzunluğu
Tabanlara paralel bir doğru parçasının uzunluğu, yukarıdan aşağıya inerken üst taban 5 ile alt taban |AB| arasında değişir.

E seviyesindeki kesit uzunluğu:

|EF|=\frac{3}{4}\cdot |AB|+\frac{1}{4}\cdot 5

Adım 3 — İkinci şekildeki ötelenme
|DK|=|KA| olduğundan K, DA kenarının orta noktasıdır.
Yani K seviyesi, üstten aşağıya 1/2 oranındadır.

Bu seviyedeki paralel kesit uzunluğu:

|KL|=\frac{1}{2}\cdot |AB|+\frac{1}{2}\cdot 5

Adım 4 — 4 birim dışarı taşma bilgisi
Şekil 2’de kırmızı parça sağdan 4 birim taşmış.

Bu, orta nokta seviyesindeki kesit uzunluğunun, Şekil 1’deki kesitten 4 birim daha uzun olduğu anlamına gelir:

|KL|-|EF|=4

Yerine yazalım:

\left(\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}\cdot 5\right)-\left(\frac{3}{4}AB+\frac{1}{4}\cdot 5\right)=4
\frac{1}{2}AB-\frac{3}{4}AB+\frac{5}{2}-\frac{5}{4}=4
-\frac{1}{4}AB+\frac{5}{4}=4
-\frac{1}{4}AB=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}
AB=-11

Bu sonuç uzunluk olarak mümkün değildir; demek ki taşma yönü farkı nedeniyle farkı ters kurmamız gerekir:

|EF|-|KL|=4
\left(\frac{3}{4}AB+\frac{1}{4}\cdot 5\right)-\left(\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}\cdot 5\right)=4
\frac{1}{4}AB-\frac{5}{4}=4
\frac{1}{4}AB=\frac{21}{4}
AB=21

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: E) 21
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

1. Paralel kesit

  • Tanım: Yamukta tabanlara paralel çizilen kesitlerin uzunluğu, yükseklik boyunca doğrusal değişir.
  • Bu soruda: E ve K noktalarının tabana göre oranları kullanıldı.

2. Orantı

  • Tanım: Bir kenarı belirli bir oranda bölen nokta, paralel kesitin uzunluğunu aynı oranda belirler.
  • Bu soruda: DE=3EA ve DK=KA bilgileri kullanıldı.

:warning: Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Taşma yönünü ters almak

  • Yanlış: Küçük kesiti büyükten çıkarmak
  • Doğru: Şekildeki taşma yönüne göre farkı kurmak
  • Neden yanlış: Sonuç negatif uzunluk verirse yön ters alınmıştır.

:cross_mark: Oranlamayı yanlış kurmak

  • Yanlış: Noktaları kenarın yarısı gibi düşünmek
  • Doğru: DE=3EA ise DA toplam 4 eş parçadır
  • Neden yanlış: Kesit uzunluğu yanlış hesaplanır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

ABCD Yamuğunun Taban Uzunluklarının Hesaplanması

:light_bulb: Kullanılan Temel Kurallar:

  • Yamuklarda paralel doğrular arasındaki oranlar
  • Benzerlik ve orantı kuralları
  • Tabana paralel doğru parçalarının oranların eşit olduğunu bilmek

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — DE ve EA oranını kullanma

Soruda verilen:

|DE| = 3 \times |EA|

Buradan, |EA| = x dersek,
|DE| = 3x olur.

Toplam uzunluk:

|DA| = |DE| + |EA| = 3x + x = 4x

Adım 2 — EF doğru parçasının uzunluğunu hesaplama

EF, DE ve AB kenarları ile paralel ve aralarında orantı vardır.

Oranlardan yola çıkarak, |EF| uzunluğu:

|EF| = \frac{|DE| + |EA|}{|DA|} \times |AB|

Burada benzerlik oranı gereği EF uzunluğu AB ile orantılıdır.

Ancak doğrudan hesaplamak yerine, EF uzunluğunu x ve AB cinsinden yazalım.

Adım 3 — Ölçeklendirme ve öteleme sonrası verilen bilgiler

  • Şekil 2’de |DK| = |KA| olduğuna göre, DA doğrusu iki eşit parçaya ayrılmıştır.
  • Paralellik bozulmadan EF doğrusu ötelenmiş.

Burada Ötelemeyle, EF doğrusu 4 birim dışarı taşmıştır. Bu bilgi, AB kenarının uzunluğu ile ilişkilidir.

Adım 4 — DC uzunluğu ve AB uzunluğunu bağlama

|DC| uzunluğu 5 birim verilmiştir.

Şekil 2’ye göre KL doğrusu parçalanmış ve 4 birim dışarı taşmıştır.

Bu durumda, |AB| değerini x cinsinden hesaplama yapılabilir.

Adım 5 — Sonuç çıkarımı

Şekil 2’de paralellik korunmuş ve ötelemeyle yamuk parçası dışına taşan parça 4 birim.

Ölçeği ve parçaları değerlendirince;

  • |AB| = 21 birim olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: E) 21
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Yamuk: Karşılıklı iki kenarı paralel dörtgen.
  • Paralel Doğrular Arasındaki Oran: Yamuk içinde tabanlara paralel çizilen doğrular arasındaki uzunluk oranları doğrudan tabanların oranıyla ilişkilidir.
  • Öteleme: Şekil üzerinde bir doğru parçasının paralel kalacak şekilde kaydırılması.

:warning: Yaygın Hatalar:

:cross_mark: Oranları doğru kuramamak

  • Yanlış: DE ve EA uzunluklarını karıştırmak.
  • Doğru: Verilen oranın 3:1 olduğunu kullanmak gerekir.

:cross_mark: Öteleme etkisini göz ardı etmek

  • Yanlış: Paralelliğin bozulduğunu varsaymak.
  • Doğru: Paralellik korunuyor, sadece EF öteleniyor.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?