Aşağıda üzerinde rakamların yazılı olduğu kâğıt şerit verilmiştir. A ile B sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere şerit aşağıdaki gibi kesikli çizgiler boyunca iki farklı şekilde kesilecektir.
Şekil 1: 4\ 2\ A\ 1\ B\ 6\ A\ B
Şekil 2: 4\ 2\ A\ 1\ B\ 6\ A\ B
Şeritler kesildiğinde her bir parçada iki veya üç basamaklı sayılar elde edilmiştir. Şekil 1’deki parçalardaki sayıların toplamı, Şekil 2’deki parçalardaki sayıların toplamından 243 fazladır.
Buna göre bir şeritte yazan rakamların toplamı kaçtır?
A) 33
B) 34
C) 35
D) 36
E) 37
Kâğıt Şeritteki Sayıların Basamak Çözümlemesi ve Rakamlar Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Üç basamaklı bir sayının basamak çözümlemesi: xyz = 100x + 10y + z
- İki basamaklı bir sayının basamak çözümlemesi: xy = 10x + y
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil 1’deki Parçaları ve Toplamlarını Belirleme
Şekil 1’deki kesim noktalarına göre oluşan sayılar:
- 42 (iki basamaklı)
- A1B (üç basamaklı) \rightarrow 100A + 10 + B
- 6AB (üç basamaklı) \rightarrow 600 + 10A + B
Bu sayıların toplamı (T_1):
T_1 = 42 + (100A + 10 + B) + (600 + 10A + B)
T_1 = 652 + 110A + 2B
Adım 2 — Şekil 2’deki Parçaları ve Toplamlarını Belirleme
Şekil 2’deki kesim noktalarına göre oluşan sayılar:
- 42A (üç basamaklı) \rightarrow 420 + A
- 1B6 (üç basamaklı) \rightarrow 100 + 10B + 6 = 106 + 10B
- AB (iki basamaklı) \rightarrow 10A + B
Bu sayıların toplamı (T_2):
T_2 = (420 + A) + (106 + 10B) + (10A + B)
T_2 = 526 + 11A + 11B
Adım 3 — İki Toplam Arasındaki Fark Denklemini Kurma ve Çözme
Şekil 1’deki toplamın Şekil 2’deki toplamdan 243 fazla olduğu verilmiştir:
T_1 - T_2 = 243
(652 + 110A + 2B) - (526 + 11A + 11B) = 243
(652 - 526) + (110A - 11A) + (2B - 11B) = 243
126 + 99A - 9B = 243
99A - 9B = 243 - 126
99A - 9B = 117
Eşitliğin her iki tarafı 9’a bölünür:
11A - B = 13
11A = 13 + B
Adım 4 — A ve B Rakamlarını Bulma
A ve B sıfırdan farklı birer rakam (1, 2, \dots, 9) olduğundan:
- A = 2 için: 11 \times 2 = 22 \implies 22 = 13 + B \implies B = 9 olur.
- A ve B sıfırdan ve birbirinden farklıdır koşulu (2 \neq 9) sağlanır.
Adım 5 — Şeritte Yazan Tüm Rakamların Toplamını Hesaplama
Şeritte bulunan rakamlar: 4, 2, A, 1, B, 6, A, B
\text{Toplam} = 4 + 2 + A + 1 + B + 6 + A + B
\text{Toplam} = 13 + 2A + 2B
\text{Toplam} = 13 + 2(A + B)
A = 2 ve B = 9 değerleri yerine yazılır:
\text{Toplam} = 13 + 2(2 + 9) = 13 + 2(11) = 13 + 22 = 35
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 35
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümlemesi
- Tanım: Bir sayının, basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade edilmesidir.
- Bu problemde: A1B sayısı 100A + 10 + B, AB sayısı ise 10A + B şeklinde açılarak denklem oluşturulmuştur.
2. Diophant / Rakam Değer Verme Mantığı
- Tanım: 11A - B = 13 gibi iki bilinmeyenli bir denklemde, değişkenlerin rakam (0-9) olma kısıtı kullanılarak tek bir çözüm kümesine ulaşılmasıdır.
- Bu problemde: A yerine yalnızca 2 yazıldığında B bir rakam (9) çıkmaktadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
6AB ve 42A Sayılarını Çarpım Olarak Düşünmek
- Yanlış: 6 \times A \times B şeklinde işlem yapmak.
- Doğru: Yan yana yazılan parçaların üç basamaklı sayı (600 + 10A + B) olduğunu dikkate almak.
- Neden yanlış: Kesilen kâğıt parçalarının üzerinde kalan rakamlar basamak dizilimi oluşturur, çarpım durumunda değildirler.
Benzer bir basamak kavramı ve çözümleme sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misiniz?