- Bir spor kulüb0, 51 denize kiyisi olan toplam 8 farki
sehirden4 tanesinde yaz kampi düzenleyecektir, R
sehirlerden ikisine basketbol, birine voleybol ve birine
tenis kampi kurulacaktir. Bu kamplarin 4 farkli sehirde
kurulmasI ve basketbol kampi yapilacak şehirlerden en
az birinin denize kryısı olan bir şehir olmasI
istenmektedir.
Buna göre bu kamp merkezleri şehirlere kaç farklı
sekilde kurulabilir?
A) 550
B) 600 C) 650
D) 700
E) 750
Şehirlere Kamp Dağılımı ve Kombinasyon Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kombinasyon Formülü: C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}
- Tüm Durumlar Yöntemi: \text{İstenen Durum} = \text{Tüm Durumlar} - \text{İstenmeyen Durumlar}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenlerin Gruplandırılması
- Toplam şehir sayısı: 8
- Denize kıyısı olan şehir sayısı: 5
- Denize kıyısı olmayan şehir sayısı: 8 - 5 = 3
- Düzenlenecek kamplar: 2 şehirde Basketbol, 1 şehirde Voleybol, 1 şehirde Tenis (toplam 4 farklı şehir).
Adım 2 — Hiçbir Kısıtlama Olmadan Tüm Durumların Hesaplanması
8 farklı şehre bu kampların dağıtılabileceği toplam durum sayısı:
- Basketbol kampı için 8 şehirden 2 tanesi seçilir: \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28
- Kalan 6 şehirden 1 tanesi Voleybol kampı için seçilir: \binom{6}{1} = 6
- Kalan 5 şehirden 1 tanesi Tenis kampı için seçilir: \binom{5}{1} = 5
\text{Tüm Durumlar} = \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 28 \cdot 6 \cdot 5 = 840
Adım 3 — İstenmeyen Durumun Hesaplanması
İstenen şart: Basketbol yapılacak şehirlerden en az birinin denize kıyısı olmasıdır.
İstenmeyen şart ise: Basketbol yapılacak her iki şehrin de denize kıyısı olmayan şehirlerden seçilmesidir.
- Denize kıyısı olmayan 3 şehirden 2’si basketbol için seçilir: \binom{3}{2} = 3
- Geriye kalan 6 şehirden 1’i voleybol için seçilir: \binom{6}{1} = 6
- Geriye kalan 5 şehirden 1’i tenis için seçilir: \binom{5}{1} = 5
\text{İstenmeyen Durumlar} = \binom{3}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 3 \cdot 6 \cdot 5 = 90
Adım 4 — İstenen Durum Sayısına Ulaşılması
\text{İstenen Durum Sayısı} = 840 - 90 = 750
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 750
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tüm Durumdan Çıkarma (Tümleyen Yöntemi): “En az bir” ifadesi içeren sorularda, tek tek durumları toplamak yerine tüm durumlardan koşulun hiç sağlanmadığı durumu çıkarmak işlemi oldukça kısaltır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Basketbol için 1’i deniz kıyısı, 1’i değil ve her ikisi de deniz kıyısı durumlarını ayrı ayrı hesaplarken kalan şehirlerin seçiminde voleybol ve tenis kamplarını sırasız/eksik çarparak permütasyon etkisini unutmak.- Doğru Yaklaşım: Basketbol şehirlerini belirledikten sonra geriye kalan şehirlerden voleybol ve tenis için yapılan seçimlerin birbiriyle farklı branşlar olduğu için sıralı seçim kuralıyla (çarpım yoluyla sayma) belirlenmesi.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber ya şimdi 8’in dörtlüsü yapsak olmaz mı en başta
\binom{8}{4} ile Başlamak Neden Zorlaştırır?
Evet, ilk adımda toplam durumları bulmak için \binom{8}{4} kullanılabilir; ancak tek başına yeterli değildir ve koşulu uygularken işleri oldukça karmaşıklaştırır.
Bunun iki temel sebebi vardır:
1. Branşlar Özdeş Değildir (Dağıtım Gerekir)
Seçilen 4 şehrin hepsi aynı kampı yapmayacaktır. Kamplar:
- 2 Basketbol
- 1 Voleybol
- 1 Tenis
şeklindedir. Dolayısıyla önce 8 şehirden 4 şehir seçilse bile (\binom{8}{4} = 70), bu 4 şehre kampların dağıtımı için tekrarlı permütasyon yapılması gerekir:
\frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ farklı dağıtım}
Buradan tüm durumlar yine:
70 \times 12 = 840
olarak bulunur.
2. Şart Sadece “Basketbol” İçin Geçerlidir
Sorudaki kısıtlama genel olarak şehirlere değil, özel olarak Basketbol kampı yapılacak şehirlere konulmuştur:
“Basketbol kampı yapılacak şehirlerden en az birinin denize kıyısı olması”
Eğer en başta \binom{8}{4} ile 4 şehir seçilirse:
- Bu 4 şehrin kaç tanesinin deniz kıyısında olduğunu bilemeyiz.
- Seçilen kıyı şehirlerinin Basketbola mı, yoksa Voleybol veya Tenise mi düştüğünü tek tek durum analizi yaparak ayırmak gerekir (bu da çözümü 4-5 kat uzatır).
En Pratik Yaklaşım
Şart doğrudan Basketbol branşına bağlı olduğu için seçime direkt olarak Basketbol oynanacak şehirlerden başlamak en sade yoldur:
-
Tüm Durum: Basketbol için 2 şehir, Voleybol için 1 şehir, Tenis için 1 şehir seç:
\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 28 \cdot 6 \cdot 5 = 840 -
İstenmeyen Durum: Basketbolu tamamen kıyısı olmayan 3 şehirden seç:
\binom{3}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 3 \cdot 6 \cdot 5 = 90 -
Sonuç:
840 - 90 = 750
Bu mantıkla seçim ve branş eşleştirmesini tek bir adımda hatasız bir şekilde tamamlamış oluruz.
Benzer bir mantıkla pekiştirici bir örnek soru daha çözmek ister misin?
@sorumatik_ai anlamadım ya
Hiç sorun değil, konuyu kafanı hiç karıştırmadan, adım adım ve canlandırarak baştan ele alalım.
Olayı Şöyle Hayal Et:
Kulüp başkanı sensin ve masanda 8 adet şehir dosyası var:
- 5 tanesi Deniz Kıyısında (Örn: İzmir, Antalya, Muğla, Trabzon, Çanakkale)
- 3 tanesi Karada / Kıyısı Yok (Örn: Ankara, Konya, Eskişehir)
Görevin bu dosyalara etiket yapıştırmak:
- 2 tanesine “BASKETBOL”
- 1 tanesine “VOLEYBOL”
- 1 tanesine “TENİS”
Soru senden ne istiyor?
“Basketbol etiketi yapıştırdığın şehirlerden en az birinin denize kıyısı olsun.”
En Kolay Mantık: “Tüm İhtimaller – İstenmeyen Durum”
Kombinasyonda “en az biri…” lafını duyduğun anda aklına şu taktik gelmeli:
Tüm yolları hesapla, kuralı bozanları içinden çöpe at.
1. Hiçbir Şart Olmasaydı (Tüm Durumlar)
Masandaki 8 şehre sırayla etiket yapıştıralım:
- Basketbol için: 8 şehirden 2 şehir seç:\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
- Voleybol için: Geriye kalan 6 şehirden 1 şehir seç:\binom{6}{1} = 6
- Tenis için: Geriye kalan 5 şehirden 1 şehir seç:\binom{5}{1} = 5
Bunları birbiriyle çarpıyoruz:
28 \times 6 \times 5 = 840 \text{ farklı şekilde etiketleyebilirsin.}
2. Kuralı Bozan Durum Nedir? (İstenmeyen Durum)
Soru, “Basketbol kampının en az biri denizde olsun” diyordu.
Kuralı bozan durum: İki Basketbol kampının da DENİZE KIYISI OLMAYAN (kara) şehirlerine denk gelmesi.
Hemen bu yasak durumu hesaplayalım:
- Denize kıyısı olmayan kaç şehir vardı? \mathbf{3} tane.
- Basketbol için: Bu karasal 3 şehirden 2’sini seçelim:\binom{3}{2} = 3
- Voleybol için: Geriye kalan 6 şehirden 1’ini seç:\binom{6}{1} = 6
- Tenis için: Geriye kalan 5 şehirden 1’ini seç:\binom{5}{1} = 5
Yasak durumların sayısı:
3 \times 6 \times 5 = 90
3. Sonuç: Yasak Olanları Çıkarıyoruz
\text{İstenen Durum} = \text{Tüm Durumlar} - \text{Yasak Durumlar}
\text{İstenen Durum} = 840 - 90 = 750
Neden Doğrudan \binom{8}{4} Yapamadık?
Eğer sadece \binom{8}{4} dersen, sadece 4 şehir seçip masaya koymuş olursun. Ama hangi şehre hangi sporun gideceğini belirlememiş olursun. Basketbol iki şehre birden gideceği için, seçimi doğrudan spor branşlarına göre (\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1}) yapmak işi kökünden çözer.
Şimdi bu mantık oturdu mu, aklına takılan belirli bir basamak var mı?
@sorumatik_ai o zaman 8’in birlisi 7’nin birlisi 6’nın birlisi 5’in 1’lisi falan yapmamız gerekiyor Bir de ben hem sorduğum soruyu niye cevaplamadın
Haklısın, doğrudan sorduğun “Neden \binom{8}{4} yapıp gidemiyoruz?” ve “\binom{8}{1} \cdot \binom{7}{1} \dots şeklinde neden olmuyor?” sorularına tam olarak senin bakış açınla, hiç lafı dolandırmadan net bir cevap verelim.
1. Soru: “Neden \binom{8}{1} \cdot \binom{7}{1} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} yapmıyoruz?”
Eğer şöyle yaparsan:
-
- Basketbol için: 8 seçenek
-
- Basketbol için: 7 seçenek
- Voleybol için: 6 seçenek
- Tenis için: 5 seçenek
Hesap: 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 olur.
Neden yanlış çıkar?
Çünkü iki şehir de aynı sporu (Basketbol) yapıyor.
Örneğin:
-
- Basketbol = İzmir, 2. Basketbol = Antalya seçmek ile
-
- Basketbol = Antalya, 2. Basketbol = İzmir seçmek aynı şeydir.
Sen 8 \times 7 dediğin zaman İzmir-Antalya durumunu iki defa saymış olursun (çift sayma hatası).
Bu yüzden aralarında sıra farkı olmayan iki Basketbol şehrini seçerken permütasyon (8 \times 7) değil, kombinasyon yapıp ikiye bölmek gerekir:
\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
2. Soru: “En başta \binom{8}{4} ile başlasak nasıl çözerdik?”
Senin istediğin yoldan, yani önce 4 şehri seçerek soruyu çözelim:
8 şehirden 4 şehir seçmek:
\binom{8}{4} = 70 \text{ durum}
Bu 4 şehri seçtikten sonra bunlara branşları dağıtmak gerekir:
- 2 Basketbol (B, B)
- 1 Voleybol (V)
- 1 Tenis (T)
Bu harfleri 4 şehre kaç farklı şekilde dağıtabiliriz? Harfler: B, B, V, T
Tekrarlı permütasyon kuralından:
\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ farklı dağıtım}
Yani Tüm Durumlar:
70 \times 12 = 840
göründüğü gibi yine 840 çıkar.
Peki şartı (Basketbolun en az biri denizde olsun) bu yolla nasıl uygulayacağız?
İşte \binom{8}{4} yolunun zorlaşma sebebi tam olarak burasıdır:
Seçtiğin 4 şehrin kaç tanesi deniz, kaç tanesi kara şehri? Bunu bilemezsin. Şunları tek tek incelemek zorunda kalırsın:
- 4 şehir de deniz kıyısında olabilir.
- 3 deniz, 1 kara şehri olabilir.
- 2 deniz, 2 kara şehri olabilir.
- 1 deniz, 3 kara şehri olabilir.
Her biri için ayrı ayrı Basketbolun nereye denk geldiğini hesaplamak sayfalarca işlem demektir.
Özetle Mantık Şudur:
Soruda kısıtlama sadece Basketbol branşına konulduğu için (Voleybol ve Tenis için deniz şartı yok), seçime genel 4 şehirden değil, kısıtlamanın olduğu Basketbol şehirlerinden başlamak soruyu 2 satırda bitirir:
- Tüm Dağılım: \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 28 \cdot 6 \cdot 5 = 840
- Basketbolun ikisinin de karada olduğu (Yasak) Dağılım: \binom{3}{2} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 3 \cdot 6 \cdot 5 = 90
- Cevap: 840 - 90 = 750
\binom{8}{4} yolunun neden çok uzadığını ve Basketbolu seçerken neden 8 \times 7 yerine \binom{8}{2} yaptığımızı şimdi daha net oturtabildik mi?
@Akademik_Rehber ya mesela BB wt yaptığımız zaman o zaman sıralamış oluyoruz ama bizim sıralı olmasa gerek yok ki yani bbwt diye sıralanmış gibi oluyor ama belki ben vbt olacak şekilde istiyorum
Harika bir noktaya parmak bastın! Aslında kafanı karıştıran şey, “sıralama” kelimesinin burada ne anlama geldiği.
Buradaki sıralama harfleri yan yana dizip okumak değil; her şehre hangi sporun gittiğini paylaştırmaktır (eşleştirmektir).
Bunu somut bir örnekle görelim:
Diyelim ki seçtiğin 4 şehir şunlar olsun:
1. Şehir: İzmir
2. Şehir: Antalya
3. Şehir: Bursa
4. Şehir: Trabzon
Şimdi bu 4 şehre elimizdeki branşları dağıtacağız:
- 2 tane B (Basketbol)
- 1 tane V (Voleybol)
- 1 tane T (Tenis)
Senin Dediğin Durum Nasıl Oluşuyor?
Sen dedin ki: “Belki ben V-B-B-T şeklinde istiyorum.”
İşte tam olarak bu yüzden harfleri farklı sıralarda diziyoruz!
-
Harfleri B - B - V - T diye dizersek:
- İzmir = B
- Antalya = B
- Bursa = V
- Trabzon = T olur.
-
Ama harfleri V - B - B - T diye dizersek:
- İzmir = V (Senin istediğin gibi Voleybol)
- Antalya = B (Basketbol)
- Bursa = B (Basketbol)
- Trabzon = T (Tenis) olur.
Gördüğün gibi harflerin sırası değiştikçe, şehirlere giden sporlar değişiyor!
- T - V - B - B yaparsan İzmir tenis, Antalya voleybol olur.
- B - T - V - B yaparsan bambaşka bir şehir voleybol alır.
Tekrarlı Permütasyon Neden 12 Çıktı?
B, B, V, T harflerinin tüm farklı dizilimleri şunlardır:
- B B V T
- B B T V
- B V B T
- B T B V
- B V T B
- B T V B
- V B B T \rightarrow (İşte senin bahsettiğin durum tam burada!)
- T B B V
- V B T B
- T B V B
- V T B B
- T V B B
Toplam tam 12 farklı durum vardır.
Eğer biz bu 12 ile çarpmasaydık, sadece ilk durumu (İzmir ve Antalya kesin Basketbol, Bursa kesin Voleybol) almış olurduk; senin istediğin “Voleybol ilk şehirde olsun” durumunu kaçırmış olurduk.
İşte bu yüzden şehirler farklı isimlere sahip olduğu için (İzmir, Bursa vb.), harfleri her farklı dizdiğimizde sporlar farklı şehirlere dağılmış olur. Matematikte bu dağıtımı yapmanın kuralı da bu permütasyondur.
Bu somut örnekle "sıralama"nın aslında şehirlere görev dağıtmak olduğu daha net anlaşıldı mı?