Sebze Fidesinin Boy Uzaması ve Budanması Problemi

Furkan_Erkan · Mayıs 10, 2026, 5:35ös

AYT/TÜRKİYE GENELİ -2
Bir sebze fidesinin 1 ve 4. ayların sonlarındaki boyları
şekilde verilmiştir.
19,5 cm

ay
ay
3, ay
py
Bu fidelerin boyu her ay bir önceki aydaki boyunun
%50’si kadar uzamaktadır. Her ayin sonunda da fideler
eşit miktarda üst kISImlarından budanmaktadır.
Fidenin n. ay sonundaki boyu (a) dizisi ile
gösterildiğine göre aşağıdaki bağıntılardan hangisi
doğrudur?
A) an =-3
3•an-1-3
C) a,
3•an-l1
B) a, 2
an-l3
D) a, =
-3
3•an-1
E) a, 2

Soru Fotoğrafı:

sorumatik_uzman_bot · Mayıs 10, 2026, 5:35ös

Sebze Fidesinin Boy Uzaması ve Budanması Problemi

Bu problem, bir sebze fidesinin aylık büyüme ve budanma döngüsünü bir dizi (a_n) ile ifade etmemizi istiyor. Fidenin boyu her ay bir önceki aydaki boyunun %50’si kadar uzuyor ve her ayın sonunda eşit miktarda budanıyor.

[FORMÜL KULLANIMI:]
Bir dizinin n. terimini, n-1. terimi cinsinden ifade eden indirgemeli bağıntı kullanacağız.

[ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen Bilgileri Anlayalım

Fidenin 1. ay sonundaki boyu: a_1 = 10 \text{ cm}
Fidenin 4. ay sonundaki boyu: a_4 = 19.5 \text{ cm}
Her ay bir önceki aydaki boyunun %50’si kadar uzama: Bu, boyun 1.5 katına çıkması demektir (Boy + Boyun %50’si = Boy * 1 + Boy * 0.50 = Boy * 1.5). Yani, budanmadan önceki boy 1.5 \cdot a_{n-1} olur.
Her ay eşit miktarda budanma: Bu miktara x diyelim.

Adım 2 — Genel İndirgemeli Bağıntıyı Oluşturalım
n. ay sonundaki boy (a_n), bir önceki ayın sonundaki boy (a_{n-1}) cinsinden şu şekilde ifade edilir:

Önceki ayın boyu %50 uzar: 1.5 \cdot a_{n-1}
Bu boydan x kadar budanır: 1.5 \cdot a_{n-1} - x
Yani, genel bağıntımız: a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - x

Adım 3 — x Değerini Bulmak İçin Denklem Sistemini Kuralım
Bu bağıntıyı a_1 ve a_4 değerlerini kullanarak x miktarını bulmak için açalım.

a_1 = 10 \text{ cm} (Verilen)
a_2 = 1.5 \cdot a_1 - x = 1.5 \cdot 10 - x = 15 - x
a_3 = 1.5 \cdot a_2 - x = 1.5 \cdot (15 - x) - x = 22.5 - 1.5x - x = 22.5 - 2.5x
a_4 = 1.5 \cdot a_3 - x = 1.5 \cdot (22.5 - 2.5x) - x = 33.75 - 3.75x - x = 33.75 - 4.75x

Bize a_4 = 19.5 \text{ cm} verildi. Bu değeri denkleme yerleştirelim:
19.5 = 33.75 - 4.75x

Adım 4 — x Değerini Hesaplayalım
4.75x = 33.75 - 19.5
4.75x = 14.25
x = \frac{14.25}{4.75}
x = 3

Yani, fide her ay 3 \text{ cm} budanmaktadır.

Adım 5 — Doğru Bağıntıyı Seçelim
Bulduğumuz x=3 değerini genel bağıntımız olan a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - x formülünde yerine koyalım.
a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - 3

1.5 sayısını kesir olarak yazarsak \frac{3}{2} olur.
a_n = \frac{3}{2} \cdot a_{n-1} - 3
a_n = \frac{3 \cdot a_{n-1}}{2} - 3

Bu bağıntı seçeneklerdeki C seçeneği ile aynıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] C seçeneği, a_n = \frac{3 \cdot a_{n-1}}{2} - 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

[TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Aritmetik Dizi

Tanım: Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu problemde direkt aritmetik dizi yoktur, ancak dizi formülü üzerinden ilerlenmiştir.
Bu problemde: Boy uzaması ve budanma işlemi sonucunda oluşan terimler arasındaki ilişkiyi bulduk.

2. İndirgemeli Bağıntı

Tanım: Bir dizinin bir terimini, kendinden önceki terim(ler) cinsinden ifade eden formüldür.
Bu problemde: Fidenin n. ay sonundaki boyunu (a_n), bir önceki ay sonundaki boyu (a_{n-1}) cinsinden bir formülle ifade ettik.

[SIK YAPILAN HATALAR:]

Uzama Miktarını Yanlış Anlamak

Yanlış: Boyun %50’si kadar uzaması, direkt boya %50 eklemek olarak düşünülüp çarpma yerine toplama yapmak (a_{n-1} + 0.50).
Doğru: Boyun %50’si kadar uzaması, mevcut boyun 1.5 katına çıkması demektir (a_{n-1} \cdot (1 + 0.50) = 1.5 \cdot a_{n-1}).
Neden yanlış: Bu, yeni boyun tamamını değil, sadece eklenen kısmı ifade eder, toplam boyu vermez.

Budanma Miktarını Hesaba Katmamak

Yanlış: Sadece uzama oranını hesaba katıp budanma miktarını ihmal etmek veya yanlış yerde çıkarmak.
Doğru: Her ayın sonunda yapılan budama miktarı (x) uzayan boydan çıkarılmalıdır.
Neden yanlış: Bu, fidenin gerçek aylık boyunu yansıtmaz ve a_4 gibi bilinen değerleri sağlamaz.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Furkan_Erkan · Mayıs 10, 2026, 5:36ös

kâğıda çözümlenmiş şekilde atar mısını

sorumatik_uzman_bot · Mayıs 10, 2026, 5:36ös

Sebze Fidesinin Boy Uzaması ve Budanması Problemi (Kağıt Çözümü)

Elbette, çözüm adımlarını kağıt üzerindeki gibi adım adım ve daha görsel bir anlatımla aşağıda bulabilirsin.

Verilenler ve İstenen

1. Ay sonu boyu (a_1): 10 cm
4. Ay sonu boyu (a_4): 19.5 cm
Büyüme kuralı: Her ay bir önceki ayın boyunun %50’si kadar uzar.
Budanma kuralı: Her ayın sonunda eşit miktarda (x) budanır.
İstenen: n. ay sonundaki boyu veren indirgemeli bağıntı (a_n)

ÇÖZÜM ADIMLARI

1. Adım: Genel Bağıntıyı Kurma

Fidenin n-1. ay sonundaki boyu a_{n-1} olsun.

Büyüme: Boyu %50 uzaması demek, mevcut boyunun 1.5 katına çıkması demektir.
- a_{n-1} + (a_{n-1} \times 0.50) = a_{n-1} \times (1 + 0.50) = 1.5 \times a_{n-1}
Budanma: Her ay x cm budanıyor.

Bu durumda, n. ay sonundaki boy (a_n) için genel bağıntı:
a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - x
Veya kesirli olarak:
a_n = \frac{3}{2} \cdot a_{n-1} - x

2. Adım: Bilinen Değerleri Kullanarak x Miktarını Bulma

a_1 = 10 \text{ cm} (Verilmiş)

Şimdi a_2, a_3 ve a_4 değerlerini genel bağıntıyı kullanarak x cinsinden yazalım:

a_2 için:
a_2 = 1.5 \cdot a_1 - x
a_2 = 1.5 \cdot 10 - x
a_2 = 15 - x
a_3 için:
a_3 = 1.5 \cdot a_2 - x
a_3 = 1.5 \cdot (15 - x) - x
a_3 = 22.5 - 1.5x - x
a_3 = 22.5 - 2.5x
a_4 için:
a_4 = 1.5 \cdot a_3 - x
a_4 = 1.5 \cdot (22.5 - 2.5x) - x
a_4 = 33.75 - 3.75x - x
a_4 = 33.75 - 4.75x

Bize a_4 = 19.5 \text{ cm} olarak verildi. Bu değeri denkleme yerleştirelim:
19.5 = 33.75 - 4.75x

3. Adım: x Değerini Hesaplama

Denklemi çözerek x’i bulalım:
4.75x = 33.75 - 19.5
4.75x = 14.25

Her iki tarafı 4.75’e bölelim:
x = \frac{14.25}{4.75}

Virgülden kurtulmak için pay ve paydayı 100 ile çarpalım:
x = \frac{1425}{475}

Şimdi bölme işlemini yapalım:
1425 \div 475 = 3
Yani, x = 3 \text{ cm}

4. Adım: Doğru Bağıntıyı Belirleme

Bulduğumuz x=3 değerini ilk kurduğumuz genel bağıntıda yerine koyalım:
a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - x
a_n = 1.5 \cdot a_{n-1} - 3

Ondalıklı sayıyı kesre çevirelim (1.5 = \frac{3}{2}):
a_n = \frac{3}{2} \cdot a_{n-1} - 3
a_n = \frac{3 \cdot a_{n-1}}{2} - 3

Bu bağıntı, verilen seçeneklerden C seçeneği ile tamamen aynıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] C seçeneği, a_n = \frac{3 \cdot a_{n-1}}{2} - 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?