SBİRE BİR ÖSYM4
f()= arc\sin(+2) =
fonksiyonunun ters fonksiyonu olan f(<)
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2\sin(x) - 6
C) 3\sin(x) - 6
E) \sin(2x)-3
B) 2\sin(x) +3
D) \sin(2x- 6)
Ters Trigonometrik Fonksiyonun Tersini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
y = \arcsin(u) \iff \sin(y) = u \quad \left(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)
Bir fonksiyonun tersini bulmak için denklemde f(x) yerine y yazılır, x değişkeni yalnız bırakılır ve son olarak x ile y’nin yerleri değiştirilir: x \rightarrow f^{-1}(x), y \rightarrow x.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonu y Değişkenine Eşitleme
Verilen kuralda f(x) yerine y yazarak denklemi kuralım:
y = \arcsin\left(\frac{x}{3} + 2\right)
Adım 2 — Her İki Tarafın Sinüsünü Alma
\arcsin fonksiyonunun tersi \sin fonksiyonu olduğundan, eşitliğin her iki tarafına sinüs uygulayarak parantez içindeki ifadeyi dışarı çıkaralım:
\sin(y) = \frac{x}{3} + 2
Adım 3 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
İlk olarak +2 ifadesini eşitliğin diğer tarafına atalım:
\sin(y) - 2 = \frac{x}{3}
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
x = 3 \cdot (\sin(y) - 2)
x = 3\sin(y) - 6
Adım 4 — Ters Fonksiyonu Yazma
x yerine f^{-1}(x) ve y yerine x yazarak ters fonksiyon kuralını elde ederiz:
f^{-1}(x) = 3\sin(x) - 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı — 3\sin(x) - 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Trigonometrik Fonksiyon (\arcsin): Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığındaki tersidir. \arcsin(a) = b ise \sin(b) = a olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Çarpma işlemini paranteze dağıtırken sadece sinüse veya sadece sayıya dağıtıp \sin(3x) - 6 veya 3\sin(x) - 2 yazmak.- Doğru Yaklaşım: Katsayı olan 3, parantezin içindeki ifadenin tamamıyla çarpılır: 3 \cdot (\sin(x) - 2) = 3\sin(x) - 6.
Bu konuyla ilgili ters kosinüs (\arccos) içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?