A = 112+22+332
sayısının tam bölen sayısı kaçtır?
A) 12
B) 16
c) 18
D) 24
E) 32
A = 11^2 + 22^2 + 33^2 sayısının tam bölen sayısı kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
Bir N sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} ise,
- Pozitif bölen sayısı (PBS): (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)
- Tam bölen sayısı (TBS): 2 \times \text{PBS}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A sayısını sadeleştirme
Verilen A sayısını üslü ifadelerin özelliklerini kullanarak sadeleştirelim.
A = 11^2 + 22^2 + 33^2
A = 11^2 + (2 \times 11)^2 + (3 \times 11)^2
A = 11^2 + 2^2 \times 11^2 + 3^2 \times 11^2
Adım 2 — Ortak çarpan parantezine alma
11^2 ortak çarpan parantezine alalım.
A = 11^2 \times (1 + 2^2 + 3^2)
A = 11^2 \times (1 + 4 + 9)
A = 11^2 \times (14)
Adım 3 — A sayısının asal çarpanlarına ayırma
Şimdi A sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 14 = 2 \times 7 olduğundan:
A = 11^2 \times 2^1 \times 7^1
Adım 4 — Pozitif bölen sayısını bulma
Asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparak pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım:
PBS = (2+1) \times (1+1) \times (1+1)
PBS = 3 \times 2 \times 2
PBS = 12
Adım 5 — Tam bölen sayısını bulma
Tam bölen sayısı, pozitif bölen sayısının 2 katıdır.
TBS = 2 \times PBS
TBS = 2 \times 12
TBS = 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı yalnızca asal sayılardan oluşan çarpım şeklinde yazma işlemidir.
- Bu problemde: A sayısının 11^2 \times 2^1 \times 7^1 şeklinde yazılması, asal çarpanlara ayırma prensibini kullanır.
2. Bölen Sayısı Formülü
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlarının üsleri kullanılarak pozitif veya tam bölen sayısını bulma yöntemidir.
- Bu problemde: Pozitif bölen sayısını bulmak için üslere 1 ekleyip çarptık, tam bölen sayısı için ise pozitif bölen sayısını 2 ile çarptık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tam Bölen Sayısı Yerine Pozitif Bölen Sayısını İşaretlemek
- Yanlış: Pozitif bölen sayısını (12) bulup doğrudan şıklarda işaretlemek.
- Doğru: Soru tam bölen sayısını istediği için pozitif bölen sayısının iki katını almak (2 \times 12 = 24).
- Neden yanlış: Tam bölenler hem pozitif hem de negatif bölenleri içerir, dolayısıyla pozitif bölen sayısının iki katı kadardır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problem çözmemi ister misin?