(800…0)
sayısınin pozitif tam bölenlerinin sayısı 108 olduğuna
göre, verilen bu sayı kaç basamaklidır?
A) 6
B) 7
c)8
D) 9
E) 10
(800…0) Sayısının Basamak Sayısı
KULLANILAN FORMÜL:
Bir N sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k} ise, pozitif tam bölenlerinin sayısı (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1) formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıyı Matematiksel Olarak İfade Etme
Verilen sayı (800\dots0) şeklinde olup, k tane sıfır içeriyorsa bu sayı 8 \times 10^k olarak yazılabilir. Sayının basamak sayısı k+1 olacaktır.
Adım 2 — Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma
8 \times 10^k = 2^3 \times (2 \times 5)^k = 2^3 \times 2^k \times 5^k = 2^{3+k} \times 5^k
Adım 3 — Pozitif Tam Bölen Sayısı Formülünü Uygulama
Pozitif tam bölenlerinin sayısı 108 olarak verilmiş. Bu durumda:
(3+k+1)(k+1) = 108
(k+4)(k+1) = 108
Adım 4 — Denklemi Çözme
Denklemi açalım:
k^2 + k + 4k + 4 = 108
k^2 + 5k + 4 = 108
k^2 + 5k - 104 = 0
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak veya diskriminant yöntemiyle çözebiliriz. Çarpanlara ayırırsak, çarpımları -104 ve toplamları 5 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar 13 ve -8’dir.
(k+13)(k-8) = 0
Buradan k = -13 veya k = 8 bulunur. Basamak sayısı pozitif olmak zorunda olduğundan k=8 olmalıdır.
Adım 5 — Basamak Sayısını Bulma
Sayıdaki sıfır sayısı k=8’dir. Sayının toplam basamak sayısı k+1 idi.
Basamak sayısı = 8+1 = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir problem çözmemi ister misin?
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı, kendisinden başka tam böleni olmayan asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir.
- Bu problemde: 8 \times 10^k sayısı 2^{3+k} \times 5^k şeklinde asal çarpanlarına ayrıldı.
2. Pozitif Tam Bölen Sayısı
- Tanım: Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için asal çarpanlarının üslerine birer eklenip çarpılmasıyla elde edilen formüldür.
- Bu problemde: (3+k+1)(k+1) = 108 formülü kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Basamak Sayısını Yanlış Hesaplama
- Yanlış: Sayının k tane sıfırı varsa, basamak sayısının k olduğunu düşünmek.
- Doğru: Sayı 8 \times 10^k ise, 8 rakamı bir basamak ve k tane sıfır k basamak oluşturduğundan toplam basamak sayısı k+1 olur.
- Neden yanlış: En baştaki rakam (bu durumda 8) unutulduğu için hata yapılır.