- 11! sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?
11! Sayısının Pozitif Bölen Sayısını Bulma
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
Bir A doğal sayısı asal çarpanlarına A = p_1^{a} \cdot p_2^{b} \cdot p_3^{c} \dots şeklinde ayrıldığında, pozitif bölen sayısı (PBS) formülü:
\text{PBS} = (a + 1)(b + 1)(c + 1)\dots
Faktöriyel içeren bir sayının (n!) içindeki bir p asal çarpanının üssünü bulmak için Legendre formülü (ardışık bölme kuralı) kullanılır:
E_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dots
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 11! İçindeki Asal Çarpanları Belirleme
11! sayısının içinde 11’e kadar olan tüm asal sayılar bulunur: 2, 3, 5, 7, 11.
Adım 2 — Her Bir Asal Çarpanın Kuvvetini Hesaplama
-
2 Asal Çarpanının Kuvveti:
\lfloor 11 / 2 \rfloor = 5\lfloor 5 / 2 \rfloor = 2\lfloor 2 / 2 \rfloor = 1Toplam kuvvet: 5 + 2 + 1 = 8 \implies 2^8
-
3 Asal Çarpanının Kuvveti:
\lfloor 11 / 3 \rfloor = 3\lfloor 3 / 3 \rfloor = 1Toplam kuvvet: 3 + 1 = 4 \implies 3^4
-
5 Asal Çarpanının Kuvveti:
\lfloor 11 / 5 \rfloor = 2 \implies 5^2 -
7 Asal Çarpanının Kuvveti:
\lfloor 11 / 7 \rfloor = 1 \implies 7^1 -
11 Asal Çarpanının Kuvveti:
\lfloor 11 / 11 \rfloor = 1 \implies 11^1
Adım 3 — 11! Sayısını Asal Çarpanlar Cinsinden Yazma
11! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1
Adım 4 — Pozitif Bölen Sayısını (PBS) Hesaplama
Asal çarpanların üstlerini birer artırıp birbiriyle çarpalım:
\text{PBS} = (8 + 1) \cdot (4 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1)
\text{PBS} = 9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2
\text{PBS} = 45 \cdot 12 = 540
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (540)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Legendre Kuralı (Faktöriyellerde Asal Çarpan Bulma)
- Tanım: n! sayısının içindeki bir asal sayının en büyük üssünü bulmak için n sayısı sürekli o asal sayıya bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.
- Bu problemde: 11’in içindeki 2, 3, 5, 7, 11 asal çarpanlarının kuvvetleri bu yöntemle hesaplanmıştır.
2. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlarının üslerine birer eklenip çarpılmasıyla elde edilen tam sayı adedidir.
- Bu problemde: Üsler olan 8, 4, 2, 1, 1 değerleri 1 artırılarak 9 \times 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 540 bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal Olmayan Çarpanlara Bölme Yapmak
- Yanlış: Faktöriyel içindeki bölenleri bulurken 4 veya 6 gibi bileşik sayılara bölme uygulamak.
- Doğru: Bölme işlemi yalnızca asal sayılar (2, 3, 5, 7, 11) için uygulanmalıdır.
- Neden yanlış: Legendre kuralı sadece asal tabanlar için geçerlidir; bileşik sayılar asal çarpanların birleşimiyle oluşur.
Benzer faktöriyel sorularında tek veya çift bölen sayısını bulma yöntemini de incelememi ister misin?