Sayısınin pozitif bölen sayısı 30'dur

Maths Question
1
  1. a, b ve c birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere,
    2°.3b.7e
    sayısınin pozitif bölen sayısı 30’dur.
    Buna göre, a + b +c toplamı kaç farklı değer alır?
    A) 1
    B) 4
    C) 6
    D) 12
    E) 24

a, b ve c birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere, 2°.3b.7e sayısınin pozitif...
a, b ve c birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere, 2°.3b.7e sayısınin pozitif...1024×542 78.4 KB

2

2^a \cdot 3^b \cdot 7^c Sayısının Pozitif Bölen Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali X = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \dots \cdot p_k^{e_k} ise, pozitif bölen sayısı (PBS) (e_1+1) \cdot (e_2+1) \cdot \dots \cdot (e_k+1) formülü ile bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Üsleri Belirleme
Verilen sayı 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı doğal sayılardır. Doğal sayılar kümesi \{0, 1, 2, 3, \dots\} şeklindedir. Pozitif bölen sayısı 30 olarak verilmiştir.
Formüle göre: (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) = 30.

Adım 2 — 30’un Çarpanlarını Bulma
30’un çarpanlarını 3 farklı şekilde, 3 çarpana ayırabiliriz (çarpanlar x, y, z olsun, x \cdot y \cdot z = 30):

  • 1 \cdot 1 \cdot 30
  • 1 \cdot 2 \cdot 15
  • 1 \cdot 3 \cdot 10
  • 1 \cdot 5 \cdot 6
  • 2 \cdot 3 \cdot 5

Adım 3 — Olası (a+1), (b+1), (c+1) Değerlerini Belirleme

a, b, c doğal sayılar olduğu için a+1 \ge 1, b+1 \ge 1, c+1 \ge 1 olmalıdır.
Ayrıca a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar olduğundan, a+1, b+1, c+1 değerleri de birbirinden farklı olmalıdır. Eğer a+1 = b+1 olsaydı a=b olurdu, bu da sorudaki “farklı doğal sayılar” koşuluna aykırı olurdu.

Bu durumda, çarpan listesinden farklı 3 çarpanı seçmeliyiz:

  • Durum 1: a+1, b+1, c+1 için \{1, 2, 15\} kümesini kullanırız.
    Üsler: a=0, b=1, c=14 (veya bunların farklı permütasyonları).
    Bu durumda a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar (0, 1, 14). Toplam a+b+c = 0+1+14 = 15.

  • Durum 2: a+1, b+1, c+1 için \{1, 3, 10\} kümesini kullanırız.
    Üsler: a=0, b=2, c=9.
    Bu durumda a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar (0, 2, 9). Toplam a+b+c = 0+2+9 = 11.

  • Durum 3: a+1, b+1, c+1 için \{1, 5, 6\} kümesini kullanırız.
    Üsler: a=0, b=4, c=5.
    Bu durumda a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar (0, 4, 5). Toplam a+b+c = 0+4+5 = 9.

  • Durum 4: a+1, b+1, c+1 için \{2, 3, 5\} kümesini kullanırız.
    Üsler: a=1, b=2, c=4.
    Bu durumda a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar (1, 2, 4). Toplam a+b+c = 1+2+4 = 7.

Adım 4 — Farklı Toplam Değerlerini Belirleme
Bulduğumuz a+b+c toplam değerleri şunlardır: 15, 11, 9, 7.
Bu değerlerin hepsi birbirinden farklıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: a+b+c toplamı 4 farklı değer alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Asal Çarpanlara Ayırma

  • Tanım: Bir sayıyı asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 12 = 2^2 \cdot 3^1.
  • Bu problemde: Verilen sayı zaten 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c şeklinde asal çarpanlarına ayrılmıştır.

2. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)

  • Tanım: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \dots \cdot p_k^{e_k} ise, PBS (e_1+1) \cdot (e_2+1) \cdot \dots \cdot (e_k+1) formülüyle hesaplanır.
  • Bu problemde: (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) = 30 eşitliği kullanıldı.

3. Doğal Sayılar ve Farklılık Koşulu

  • Tanım: Doğal sayılar kümesi \{0, 1, 2, 3, \dots\}'dir. a, b, c bu kümeden seçilen ve birbirlerinden farklı elemanlardır.
  • Bu problemde: Bu koşul, a+1, b+1, c+1 değerlerinin de birbirinden farklı olmasını sağlamıştır. Örneğin, a=0, b=1, c=14 değerleri birbirinden farklı doğal sayılardır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Farklı Olma Koşulunu Gözden Kaçırmak

  • Yanlış: (a+1), (b+1), (c+1) için 1, 1, 30 gibi aynı değerler içeren çarpanları düşünmek. Bu durumda a=b=0 olurdu ve “a, b, c birbirinden farklı” koşulu ihlal edilirdi.
  • Doğru: (a+1), (b+1), (c+1) değerlerinin de birbirinden farklı olması gerektiğini anlamak ve buna göre 30’un 3 farklı çarpanını bulmak.
  • Neden yanlış: a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar olduğundan, a+1, b+1, c+1 de birbirinden farklı olmalıdır.

:cross_mark: Doğal Sayılar Kümesini Yanlış Anlamak

  • Yanlış: a, b, c üsleri için sadece pozitif tam sayıları düşünmek ve 0’ı atlamak. Örneğin, 2^0 = 1 olduğu için üs 0 olabilir.
  • Doğru: Doğal sayıların 0’dan başladığını bilerek üsler için a, b, c \ge 0 olabileceğini dikkate almak.
  • Neden yanlış: 0, doğal sayıların önemli bir elemanıdır ve asal çarpanın üssü 0 olabilir. Örneğin, 2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^2 sayısı, 2 çarpanının üssünün 0 olduğu bir durumu temsil eder.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir asal çarpanlama ve pozitif bölen sayısı sorusu çözmemi ister misin?