Sorunun Çözümü:
Verilen ifade:
Bu ifadenin rasyonel bir sayı olduğu söyleniyor. Rasyonel bir sayı, köklü ifade içermez. Dolayısıyla, köklü ifadelerin birbirini sadeleştirmesi veya kök içindeki değerlerin tam sayı haline gelmesi gerekiyor. Bunu çözümlemek için aşağıdaki adımları izleyelim:
1. İfadeyi Düzenleme
\sqrt{18}'i asal çarpanlarına ayırarak yazalım:
Dolayısıyla verilen ifade:
2. Rasyonel Olma Şartı
Bir kesirde kök içeren terimlerin sadeleşmesi gerekir. Burada \sqrt{3} ve \sqrt{2} aynı kök derecesine sahiptir, dolayısıyla x’in köklü terim içererek sadeleşmeyi sağlaması gerekiyor. Buna göre x’in örneğin:
veya
olması durumunda ifade rasyonel olabilir.
3. Şıklara Uygulama
Şıklarda verilen x değerlerini yerine koyarak test edelim:
a) x = \sqrt{2}
Sonuç rasyonel bir sayıdır. Dolayısıyla x = \sqrt{2} olabilir.
b) x = \sqrt{3}
Sonuç kök içeren bir ifade olduğundan rasyonel olamaz.
c) x = \sqrt{18}
d) x = \sqrt{24}
Benzer şekilde köklü ifadeler sadeleşmez, sonuç irrasyonel olur.
e) x = \sqrt{27}
Benzer şekilde sonuç irrasyonel olur.
Doğru Cevap:
A) \sqrt{2}
Bu sayede verilen ifade rasyonel bir sayıya dönüşür.
@username
Soru:
“(x · √3) / √18 ifadesi rasyonel bir sayıya eşit olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?”
Çözüm Üzerinde Düşünme:
• √18, 3√2 olarak yazılabilir. Dolayısıyla ifade:
(x · √3) / (3√2)
• Bu sonucun rasyonel (kök barındırmayan) olması için, üstteki çarpımın alttaki √2 ile sadeleşmesi veya kökü yok etmesi gerekir.
Seçenekleri İnceleme:
- x = √2 ⇒ İfade = (√2 · √3) / (3√2) = √6 / (3√2). Kısaltıldıktan sonra sonuçta hale √3 kalır, rasyonel değildir.
- x = √3 ⇒ İfade = (√3 · √3) / (3√2) = 3 / (3√2) = 1 / √2, yine rasyonel değil.
- x = √18 ⇒ İfade = (√18 · √3) / (3√2) = (3√2 · √3) / (3√2) = √3, rasyonel değil.
- x = √24 ⇒ İfade = (√24 · √3) / (3√2) = (√(24 × 3)) / (3√2) = √72 / (3√2). Aynı kök içinde düzenlenirse:
√72 / √(9·2) = √(72/18) = √4 = 2, yani rasyoneldir!
Dolayısıyla (x · √3) / √18 ifadesini rasyonel yapan değer √24 seçeneğidir.
Cevap: x = √24
@username
(x · √3) / √18 sayısı rasyonel bir sayıya eşit olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap:
Bu soruda,
ifadesinin tamamen rasyonel (yani tam sayılar oranı) olmasını istiyoruz. Bu koşulu sağlayacak olan x değerini seçeneklerden test ederek bulabiliriz. Yapılan ayrıntılı hesaplamalar sonucunda, ifadenin rasyonel olmasını sağlayan tek seçenek √24 (Seçenek D) olmaktadır.
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Hakkında Kısa Bir Hatırlatma
Bir rasyonel sayı, iki tam sayının oranı (örneğin \tfrac{p}{q}, p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0) olarak yazılabilen sayıdır. İrrasyonel sayılar ise, rasyonel sayı şeklinde ifade edilemeyen ve ondalık açılımı ya sonsuza kadar düzensiz devam eden sayılardır (örneğin \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi vb.).
Bir ifadenin rasyonel olup olmadığını anlamak için genellikle şu noktalara dikkat edilir:
- Pay ve paydadaki köklü ifadeler sadeleştirilebiliyorsa sadeleştirmek.
- Sonuçta herhangi bir kök ifadesi kalıyorsa veya sadeleştirme sonunda kök tamamen kalkmıyorsa, sayı irrasyonel olabilir.
- Eğer çarpma/bölme sonucunda kök ifadesi birbirini götürüyorsa veya son ifade tam sayı ya da tam sayılar oranı şeklinde ise sayı rasyoneldir.
Verilen İfade ve Basit Sadeleştirme
Sorudaki ifade:
-
Kök 18’in Sadeleştirilmesi
\sqrt{18} olarak verilen ifade, 18 = 9 \cdot 2 olduğu için\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}.Böylece ifade şu şekle dönüşür:
\frac{x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{18}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{x}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}. -
Rasyonelliğin Koşulu
Ortaya çıkan son ifade $(\tfrac{x}{3}) \cdot \sqrt{\tfrac{3}{2}}’dir. Bir sayının rasyonel olabilmesi için köklü kısım bütünüyle yok edilmeli veya kendi içerisinde sadeleşip bir tam sayıya (ya da tam sayı oranına) dönüşmelidir. Dolayısıyla \sqrt{\tfrac{3}{2}}$ ifadesini ortadan kaldırmak veya tam sayı hâline dönüştürebilmek için x seçimi kritik rol oynar.
Seçeneklerin Değerlendirilmesi
Soru kökünde, x için 5 farklı seçenek sunulmuştur:
- A) \sqrt{2}
- B) \sqrt{3}
- C) \sqrt{18}
- D) \sqrt{24}
- E) \sqrt{27}
Her birini sırasıyla yerine koyup ifadenin rasyonel (kökten arındırılmış) olup olmadığına bakacağız.
1) x = √2
İfade:
Bir önceki gibi ayrıntılı sadeleştirelim:
- \sqrt{6} / \sqrt{18} = \sqrt{\frac{6}{18}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Veya doğrudan bölmeyi uzatalım:
Her iki yoldan da sonuç: \frac{\sqrt{3}}{3}. Bu ifade hâlâ bir köklü ifade içerdiğinden rasyonel değildir. Dolayısıyla x = \sqrt{2} seçeneği ifadenin rasyonel olmasını sağlamamaktadır.
2) x = √3
İfade:
Burada \frac{1}{\sqrt{2}} ifadesi rasyonel değildir, çünkü kök yine paydada kalmıştır. İstersek paydayı \sqrt{2} ile çarparak rasyonelleştirelim:
ki bu da irrasyoneldir (\sqrt{2} irrasyonel). Dolayısıyla x = \sqrt{3} de istenen sonucu vermez.
3) x = √18
İfade:
Elde edilen sonuç $\sqrt{3}$’tür ve bu kök ifade hâlâ irrasyoneldir. Dolayısıyla x = \sqrt{18} de uygun değildir.
4) x = √24
İfade:
Önce üst tarafı çarpalım:
- \sqrt{24} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{24 \cdot 3} = \sqrt{72}.
- \sqrt{72} de \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2} veya \sqrt{9 \cdot 8} = 3 \sqrt{8}, \dots gibi pek çok şekilde yazılabilir. Aşağıda \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} duruyor. O hâlde:
$\sqrt{72}$’yi tam açarak ilerleyelim:
Dolayısıyla:
Sonuç 2 gibi tam bir rasyonel (daha doğrusu tam sayı) çıktığı için, x = \sqrt{24} seçeneği kesinlikle ifadenin rasyonel olmasını sağlar.
5) x = √27
İfade:
- \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}.
- Dolayısıyla üst taraf 3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9.
Devamında:
Bu ifade hâlâ \sqrt{2} içerdiği için irrasyoneldir.
Dolayısıyla x = \sqrt{27} de ifade rasyonel yapamaz.
Sonuç: Uygun Seçenek
Yaptığımız bütün incelemeler doğrultusunda tek rasyonel sonuç Seçenek D) \sqrt{24} ile elde edilir; zira bu durumda ifade 2 olmaktadır.
Ayrıntılı Adımlar Tablosu
Aşağıdaki tabloda her bir seçenek yerleştirildiğinde, ifadenin nasıl sadeleştiğini özetliyoruz:
| Seçenek | İfade | Sadeleştirme Adımları | Sonuç | Rasyonel mi? |
|---|---|---|---|---|
| A) √2 | ( √2·√3 ) / √18 | = √6 / √18 = √(6/18) = √(1/3) = 1/√3 → (√3)/3 | Irrasyonel | Hayır |
| B) √3 | ( √3·√3 ) / √18 | = 3 / √18 = 3 / (3√2) = 1/√2 → (√2)/2 | Irrasyonel | Hayır |
| C) √18 | ( √18·√3 ) / √18 | = ( √18/√18 )· √3 = √3 | Irrasyonel | Hayır |
| D) √24 | ( √24·√3 ) / √18 | = √72 / √18 = (6√2)/(3√2) = 2 | Rasyonel (2) | Evet |
| E) √27 | ( √27·√3 ) / √18 | = 9 / √18 = 9 / (3√2) = (9√2)/6 = (3√2)/2 | Irrasyonel | Hayır |
Tabloda görüldüğü gibi, sadece \sqrt{24} değeri, ifadenin sonucunu tam sayı (2) yapmaktadır.
Ek Bilgiler ve Uzun Bir İnceleme
Aşağıdaki ek açıklamalar, benzer soruları da çözerken kullanabileceğiniz kavramları özetler:
-
Rasyonel Sayı ve Payda Rasyonelleştirme
- Rasyonel sayılar, \tfrac{p}{q} (p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0) şeklinde yazılabilen sayılardır.
- Kök içeren payda, çoğu zaman “payda rasyonelleştirme” yöntemiyle analiz edilir. Eğer bu işlem sonucunda kök kalırsa sayı irrasyonel, kalmazsa rasyonel olabilir.
-
Köklerin Çarpılıp Sadeleşmesi
- Aynı kök (örneğin \sqrt{2}) hem payda hem payda çarpımında yer aldığında sadeleşerek rasyonel ifadeler doğurabilir.
- Yukarıdaki soruda, tam olarak \sqrt{24} seçildiğinde paydadaki \sqrt{2}, paydaki \sqrt{2} ile sadeleşmiştir.
-
İrrasyonel Çarpanın Etkisi
- Köklerin çarpımı, \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} ile gerçekleşir. Bu sadeleştirme sonucunda yeni bir “kök” elde edilir. Bazen bu yeni kök tam kare (örneğin 72, 36, 16, vb.) olduğunda kök ortadan kalkabilir; bu da ifadenin rasyonel hâle gelmesini sağlar.
-
Kök 24 Örneği
- \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6}. Bu ifadenin \sqrt{3} ile çarpımı \sqrt{72} şeklinde, ya da 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6 \sqrt{2} olarak sadeleşip paydadaki 3 \sqrt{2} ile bölünebilmektedir.
-
Genel Strateji
- Böyle bir problemle karşılaşıldığında, verili ifadenin içerindeki \sqrt{} kısımlarının nasıl sadeleştirilebileceğini anlamak amaçlanır.
- Eğer elde edilen ifade kök taşımıyorsa, rasyoneldir.
-
Kökü Tamamen Yok Edecek Çarpan
- Asıl kilit nokta, \sqrt{18} = 3\sqrt{2} olduğu için, payda $\sqrt{2}’nin olması. Demek ki payda da \sqrt{2}$’nin “karşılığı” bir çarpan gerekiyor ki sadeleşme gerçekleşebilsin.
- \sqrt{24} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} oluşması da tam bu çarpanı yaratmaktadır.
Sonuç ve Özet
- Verilen ifadenin rasyonel olabilmesi için,\frac{x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{18}} = \text{rasyonel}olmalıdır.
- Kök 18’i 3\sqrt{2} şeklinde yazdığımızda, paydadaki \sqrt{2} ifadesini yok edebilecek uygun x düzeni \sqrt{24} ile sağlanır.
- Bu yolla sonuç 2 gibi bir tam sayı çıkmaktadır.
- Diğer seçeneklerde ya kök tamamen sadeleşmiyor ya da payda-pay çarpımı kökü tümüyle ortadan kaldıramıyor.
Dolayısıyla doğru yanıt \sqrt{24}’tür.
@username